2005-重庆卷文-09 单-椭圆上动点二次函数最值

本题导读

本题考查椭圆参数化后含参二次函数最值的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 若动点 $(x,y)$ 在曲线 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）上变化，则 $x^2+2y$ 的最大值为()

A. $\{\begin{array}{ll}\frac{b^2}{4}+4,& 0<b<4,\\ 2b,& b⩾4.\end{array}$　B. $\{\begin{array}{ll}\frac{b^2}{4}+4,& 0<b<2,\\ 2b,& b⩾2.\end{array}$ C. $\frac{b^2}{4}+4$　D. $2b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x=2\cos \theta$，$y=b\sin \theta$。
2. $x^2+2y=4{\cos }^2\theta +2b\sin \theta =4-4{\sin }^2\theta +2b\sin \theta$。
3. 令 $u=\sin \theta \in [-1,1]$，$g(u)=-4u^2+2bu+4$，对称轴 $u=\frac{b}{4}$，按 $\frac{b}{4}$ 与 $[-1,1]$ 的位置分类。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $x=2\cos \theta$，$y=b\sin \theta$，则 $x^2+2y=4{\cos }^2\theta +2b\sin \theta =4-4{\sin }^2\theta +2b\sin \theta$．令 $u=\sin \theta \in [-1,1]$，$g(u)=-4u^2+2bu+4$，开口向下，对称轴 $u=\frac{b}{4}$．当 $0<\frac{b}{4}<1$（即 $0<b<4$）时，最大值在对称轴处取得：$g\left(\frac{b}{4}\right)=-4\cdot \frac{b^2}{16}+2b\cdot \frac{b}{4}+4=-\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{2}+4=\frac{b^2}{4}+4$；当 $\frac{b}{4}⩾1$（即 $b⩾4$）时，$g(u)$ 在 $[-1,1]$ 上于 $u=1$ 处取最大值 $-4+2b+4=2b$．故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆上动点二次函数最值

核心方法：$x=2\cos \theta$，$y=b\sin \theta$，$x^2+2y=4{\cos }^2\theta +2b\sin \theta =4-4{\sin }^2\theta +2b\sin \theta$，按 $b$ 分类

避坑指南：令 $u=\sin \theta \in [-1,1]$，二次函数对称轴 $u=\frac{b}{4}$；$0<b<4$ 时顶点在域内取 $\frac{b^2}{4}+4$，$b⩾4$ 时端点 $u=1$ 取 $2b$——分段讨论别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 椭圆参数

结论推广：$x=2\cos \theta$、$y=b\sin \theta$；$0<b<4$ 时最大 $\frac{b^2}{4}+4$，$b⩾4$ 时 $2b$

方法推广：椭圆上动点最值标准参数化；含参二次函数按对称轴与区间的位置关系分段

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2005-浙江卷文-19 解-椭圆方程与张角最值
• 2006-全国卷I文-21 解-椭圆短轴端点距离最值