2006-全国卷I文-20 解-异面直线垂直线面角

本题导读

本题考查异面直线。核心在于建系用向量证垂直、求线面角。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 如图，$l_1,l_2$ 是互相垂直的异面直线，$MN$ 是它们的公垂线段．点 $A,B$ 在 $l_1$ 上，$C$ 在 $l_2$ 上，$AM=MB=MN$． （1）证明：$AC\perp NB$； （2）若 $\angle ACB=60^{\circ }$，求 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成角的余弦值．

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）建立空间直角坐标系，$M$ 为原点，$MN$ 沿 $y$ 轴，$l_1$ 沿 $x$ 轴，$l_2$ 平行 $z$ 轴。 2. 写出各点坐标，用向量数量积证 $AC\perp NB$。 3.（2）由 $AC=BC$ 且 $\angle ACB=60^{\circ }$ 得 $△ABC$ 为正三角形，求 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成角。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析

(2)$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建立空间直角坐标系 $M-xyz$，令 $MN=1$，则 $A(-1,0,0)$，$B(1,0,0)$，$N(0,1,0)$． 因 $MN$ 是 $l_1,l_2$ 的公垂线且 $l_2\perp l_1$，故 $l_2$ 平行 $z$ 轴，可设 $C(0,1,m)$． 于是 $\overrightarrow{AC}=(1,1,m)$，$\overrightarrow{NB}=(1,-1,0)$， $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NB}=1\times 1+1\times (-1)+m\times 0=0$，故 $AC\perp NB$． （2）$\overrightarrow{AC}=(1,1,m)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,1,m)$，则 $|AC|=|BC|$，又 $\angle ACB=60^{\circ }$，故 $△ABC$ 为正三角形，$AC=BC=AB=2$， 由 $|AC|=\sqrt{1+1+m^2}=2$ 得 $m=\sqrt{2}$． $N$ 在平面 $ABC$ 内的射影 $H$ 是正三角形 $ABC$ 的中心，$\angle NBH$ 为 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成的角． 在 $\mathrm{Rt}△NHB$ 中，$BH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$NB=\sqrt{2}$， $\cos \angle NBH=\frac{BH}{NB}=\frac{2\sqrt{3}/3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$． 故 $NB$ 与平面 $ABC$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线垂直线面角

核心方法：建系 $M$ 原点，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NB}=0$ 证垂直；$\angle ACB=60^{\circ }$ 且 $AC=BC$ 得正三角形，线面角余弦 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

避坑指南：公垂线 $MN$ 是建系的关键，$l_2$ 平行 $z$ 轴；正三角形中心射影 $H$，$BH=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 是重心性质

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于异面直线、线线垂直与线面角，教材”空间直线与平面”综合题

结论推广: 一般化：公垂线是建系的关键轴，异面直线垂直用向量数量积为零判定

方法推广: 找公垂线建系，用向量证垂直；线面角找点在平面内的射影，用几何法或向量法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-09 单-三棱柱异面直线
• 2008-大纲Ⅰ文-11 单-三棱柱线面角
• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角