2006-全国卷I文-10 单-二项展开指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及指定项系数。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 在 ${\left(x-\frac{1}{2x}\right)}^{10}$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为()

A. $-120$　　　　　　B. $120$　　　　　　C. $-15$　　　　　　D. $15$

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{10-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{10-2k}$。
2. $x^4$ 项需 $10-2k=4$，即 $k=3$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_{10}^3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=120\times \left(-\frac{1}{8}\right)=-15$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

${\left(x-\frac{1}{2x}\right)}^{10}$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{10-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{10-2k}$． 令 $10-2k=4$，得 $k=3$，故 $x^4$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_{10}^3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=120\times \left(-\frac{1}{8}\right)=-15$． 【注】答案册此题标注为 B（$120$），系排印错误（漏掉 $-\frac{1}{2}$ 的负号与三次方）；正确系数为 $-15$，历年试题汇编及人人文库、百度文库均作 $-15$（选 C），故按 $-15$ 录入． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开指定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k{x}^{10-k}$，$x^4$ 项 $k=3$，系数 ${\mathrm{C}}_{10}^3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-15$

避坑指南：$-\frac{1}{2x}$ 的负号和 $\frac{1}{2}$ 都要计入系数，${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$；系数是 $-15$ 不是 $120$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于二项式定理的通项，教材”二项式定理”指定项系数

结论推广: 一般化：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，指定项令次数相等定 $k$

方法推广: 注意项的系数含 $a,b$ 的系数与符号，${\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k$ 的负号不能丢

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-05 单-二项式系数
• 2009-大纲Ⅰ文-13 填-二项式系数
• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数