2006-全国卷I文-06 单-正切函数单调区间

本题导读

本题考查正切函数的单调性，以及函数图象平移。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 函数 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的单调增区间为()

A. $\left(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2}\right),k\in \mathbf{Z}$　　　　　　　　　　　　　　B. $(k\pi ,(k+1)\pi ),k\in \mathbf{Z}$

C. $\left(k\pi -\frac{3\pi }{4},k\pi +\frac{\pi }{4}\right),k\in \mathbf{Z}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\left(k\pi -\frac{\pi }{4},k\pi +\frac{3\pi }{4}\right),k\in \mathbf{Z}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\tan t$ 的增区间为 $(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2})$。
2. 令 $t=x+\frac{\pi }{4}$，得 $x+\frac{\pi }{4}\in (k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2})$。
3. 解得 $x\in (k\pi -\frac{3\pi }{4},k\pi +\frac{\pi }{4})$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$y=\tan t$ 在 $(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2})$ 上单调递增． 令 $t=x+\frac{\pi }{4}$，由 $k\pi -\frac{\pi }{2}<x+\frac{\pi }{4}<k\pi +\frac{\pi }{2}$， 解得 $k\pi -\frac{3\pi }{4}<x<k\pi +\frac{\pi }{4}$（$k\in \mathbf{Z}$）． 故单调增区间为 $\left(k\pi -\frac{3\pi }{4},k\pi +\frac{\pi }{4}\right)$，$k\in \mathbf{Z}$． 【注】答案册此题标注为 B，系排印错误；正切函数的增区间由 $\tan$ 的周期与定义域确定，正确答案为 C，历年试题汇编及人人文库、百度文库均作 C． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切函数单调区间

核心方法：$y=\tan t$ 增区间 $(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2})$，代 $t=x+\frac{\pi }{4}$ 解出 $x\in (k\pi -\frac{3\pi }{4},k\pi +\frac{\pi }{4})$

避坑指南：$\tan$ 的增区间是开区间（端点无定义）；平移 $\frac{\pi }{4}$ 后区间整体左移，别漏掉 $-\frac{3\pi }{4}$ 的起点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于正切函数的单调性，教材”三角函数的图象与性质”

结论推广: 一般化：$y=\tan (x+\phi )$ 的增区间由 $x+\phi \in (k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2})$ 平移得到

方法推广: 正切在每个周期区间内递增，先写 $\tan$ 的增区间再整体平移自变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-09 单-三角图象平移
• 2009-大纲Ⅰ文-10 单-余弦对称中心
• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期