2006-全国卷I文-05 单-等差数列中项求和

本题导读

本题考查等差数列的前n项和，以及等差中项。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_7=35$，则 $a_4=$()

A. $8$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差数列中 $a_1+a_7=2a_4$（等差中项）。
2. $S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4$。
3. $7a_4=35$，$a_4=5$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列的性质，$a_1+a_7=2a_4$（$a_4$ 是 $a_1$ 与 $a_7$ 的等差中项）． 故 $S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=\frac{7\times 2a_4}{2}=7a_4=35$， 解得 $a_4=5$． 【注】答案册此题标注为 C（$6$），系排印错误；$S_7=35$ 与 $a_4=5$ 由等差中项关系唯一确定，历年试题汇编及人人文库、百度文库均作 $a_4=5$（选 D），故按 $5$ 录入． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列中项求和

核心方法：$a_4$ 是前 7 项中间项，$S_7=7a_4=35$，故 $a_4=5$

避坑指南：等差中项 $S_7=7a_4$ 是 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ 的特例；$a_4=5$ 不是 $6$，答案册此处有误需注意

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于等差数列的性质与求和，教材”等差数列”中”奇数项和”的结论

结论推广: 一般化：$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$（$a_k$ 为中间项），本题 $k=4$ 即 $S_7=7a_4$

方法推广: 奇数项和等于项数乘中间项，比列方程求 $a_1,d$ 更快捷

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-14 填-等差数列中项
• 2009-新课标Ⅰ文-08 单-等差数列中项求和
• 2008-新课标Ⅰ文-13 填-等差数列求项