2006-上海文-21 解-椭圆方程轨迹与面积最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于相关点法求轨迹。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 $F(-\sqrt{3},0)$，且右顶点为 $D(2,0)$，设点 $A$ 的坐标是 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$。 （1）求该椭圆的标准方程； （2）若 $P$ 是椭圆上的动点，求线段 $PA$ 中点 $M$ 的轨迹方程； （3）过原点 $O$ 的直线交椭圆于点 $B$、$C$，求 $△ABC$ 面积的最大值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）右顶点 $(2,0)$ 得 $a=2$，焦点 $(-\sqrt{3},0)$ 得 $c=\sqrt{3}$，故 $b^2=a^2-c^2=1$。
2. （2）设 $P=(x_0,y_0)$，$M=(x,y)$，由 $M$ 是 $PA$ 中点得 $x_0=2x-1$，$y_0=2y-\frac{1}{2}$，代入椭圆方程。
3. （3）设过原点直线 $y=kx$，与椭圆联立求 $|BC|$，再求 $A$ 到该直线距离，面积 $S=\frac{1}{2}|BC|\cdot d$，用均值求最值。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2)${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+4{\left(y-\frac{1}{4}\right)}^2=1$

(3)$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由右顶点 $D(2,0)$ 得 $a=2$，由左焦点 $F(-\sqrt{3},0)$ 得 $c=\sqrt{3}$， 故 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$，椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。 （2）设 $P=(x_0,y_0)$，$M=(x,y)$。因为 $M$ 是线段 $PA$ 的中点，$A=\left(1,\frac{1}{2}\right)$，所以 $x_0=2x-1$，$y_0=2y-\frac{1}{2}$。 由 $P$ 在椭圆上，得 $\frac{(2x-1{)}^2}{4}+{\left(2y-\frac{1}{2}\right)}^2=1$， 化简得 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+4{\left(y-\frac{1}{4}\right)}^2=1$，此即点 $M$ 的轨迹方程。 （3）当直线 $BC$ 垂直于 $x$ 轴时，$|BC|=2$，$A$ 到 $BC$ 的距离为 $1$，$S_{△ABC}=1$。 当直线 $BC$ 不垂直于 $x$ 轴时，设其方程为 $y=kx$，与椭圆联立解得 $B,C$ 的坐标，得 $|BC|=2\sqrt{\frac{4(1+k^2)}{1+4k^2}}$， 点 $A$ 到直线 $y=kx$ 的距离 $d=\frac{\left|k-\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1+k^2}}$。 于是 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}|BC|\cdot d=\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+4k^2}}$， 平方后令 $u=\frac{(2k-1{)}^2}{1+4k^2}$，由均值不等式得 $u⩽2$，当 $k=-\frac{1}{2}$ 时取等号， 故 $S_{\max }=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程轨迹与面积最值

核心方法：相关点法求轨迹、联立求面积最值

避坑指南：由 $M$ 是 $PA$ 中点反解 $P$ 代入椭圆；面积用 $S=\frac{1}{2}|BC|\cdot d$，均值不等式取等条件 $k=-\frac{1}{2}$ 得 $\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆方程、轨迹、面积最值，解析几何综合题

结论推广: 相关点法求轨迹，直线与椭圆联立求面积，均值求最值

方法推广: 中点轨迹用相关点法，面积最值用弦长公式加点到直线距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标Ⅰ文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆