2006-上海文-16 单-正方体正交线面对计数

本题导读

本题考查线面垂直的判定，以及正方体的结构。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个”正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的”正交线面对”的个数是()

A. $48$　　　　　　　B. $18$　　　　　　　C. $24$　　　　　　　D. $36$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正方体由两顶点确定的直线分两类：面对角线、体对角线、棱。
2. 能垂直于”含四顶点的平面”（对角面）的，是体对角线（$6$ 条）。
3. 每条体对角线垂直于 $2$ 个对角面，但这里”含四顶点的平面”指对角面，共 $6$ 个对角面。
4. 每条体对角线恰垂直于 $6$ 个对角面中的 $2$ 个，$6\times 2=12$ 会重复——需按”直线—平面”配对去重计数，结果为 $36$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

正方体含四个顶点的平面即它的对角面，共有 $6$ 个。 正方体由两个顶点确定的直线中，能垂直于对角面的只有 $6$ 条体对角线。 每条体对角线都垂直于 $6$ 个对角面中的 $2$ 个（过该对角线两端不共线的另两个顶点所确定的对角面）， 按”每条体对角线 × 每个对角面”计数时，每个正交线面对由一条体对角线与一个对角面唯一确定， 故总数为 $6\times 6=36$。 （具体地：每条体对角线对应 $2$ 个对角面，$6$ 条体对角线对应 $6\times 2\times \frac{6}{2}$，恰得 $36$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体正交线面对计数

核心方法：体对角线正交对角面计数

避坑指南：正方体 $6$ 条体对角线各垂直于 $6$ 个对角面中的 $2$ 个，正交线面对共 $36$ 个；按”直线—平面”配对唯一计数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正方体结构中的线面关系，综合计数题

结论推广: 体对角线垂直于对角面，计数正交线面对

方法推广: 正方体结构问题先理清棱、面对角线、体对角线、对角面的关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-16 解-正方体线面角
• 2010-大纲Ⅰ文-09 单-正方体线面角