2005-重庆卷文-20 解-四棱锥线线距离与二面角

本题导读

本题考查空间向量法求解异面直线距离与二面角。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PD\perp$ 底面 $ABCD$，$E$ 是 $AB$ 上一点，$PE\perp EC$．已知 $PD=\sqrt{2}$，$CD=2$，$AE=\frac{1}{2}$，求：

(1)异面直线 $PD$ 与 $EC$ 的距离；

(2)二面角 $E-PC-D$ 的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $D$ 为原点，$DA,DC,DP$ 为 $x,y,z$ 轴；设 $AD=m$，由 $PE\perp EC$ 定 $m=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. (1) 公垂向量 $n=\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}$，距离 $=\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot n|}{|n|}=1$。
3. (2) 平面 $PCD$ 即 $x=0$，法向量 $(1,0,0)$；平面 $PCE$ 法向量夹角得 $\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

Success

距离为1.（2）短答案：二面角的大小为π4.

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DP$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，设 $AD=m$，则 $D(0,0,0)$，$C(0,2,0)$，$A(m,0,0)$，$B(m,2,0)$，$P(0,0,\sqrt{2})$，$E\left(m,\frac{1}{2},0\right)$．由 $PE\perp EC$：$\overrightarrow{PE}=\left(m,\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$，$\overrightarrow{EC}=\left(-m,\frac{3}{2},0\right)$，$\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{EC}=-m^2+\frac{3}{4}=0$，得 $m=\frac{\sqrt{3}}{2}$． （1）$PD$ 的方向向量 $\overrightarrow{d_1}=(0,0,1)$，$EC$ 的方向向量 $\overrightarrow{d_2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},0\right)$，公垂方向 $\vec{n}=\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=\left(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$．$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$，故距离 $d=\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{\left|-\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right|}{\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$． （2）平面 $PCD$ 过 $P(0,0,\sqrt{2})$、$C(0,2,0)$、$D(0,0,0)$，即平面 $x=0$，其法向量可取 $\overrightarrow{n_1}=(1,0,0)$．平面 $PCE$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{PC}\times \overrightarrow{PE}=\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2},-\sqrt{3}\right)$，$|\overrightarrow{n_2}|=3$．设二面角 $E-PC-D$ 的大小为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{4}$，即二面角 $E-PC-D$ 的大小为 $\frac{\pi }{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥线线距离与二面角

核心方法：建系或等体积：(1) 异面直线距离即 $E$ 到 $PD$ 的公垂线段，距离 1；(2) 二面角 $\frac{\pi }{4}$

避坑指南：$PE\perp EC$ 与 $PD\perp$ 底面联立定 $E$ 位置；异面直线 $PD$ 与 $EC$ 的公垂线沿 $DC$ 方向——用向量或体积法，注意 $AE=\frac{1}{2}$、$CD=2$ 的坐标放置

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 空间向量与立体几何

结论推广：建系定 $E$：$PE\perp EC$ 给出方程；距离 1、二面角 $\frac{\pi }{4}$

方法推广：异面直线距离找公垂线段或等体积法；二面角用三垂线/法向量，注意 $AE=\frac{1}{2}$ 的位置决定 $E$ 偏 $A$ 侧

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角
• 2007-重庆文-19 解-异面直线距离与四棱锥体积
• 2008-天津文-19 解-四棱锥垂直与二面角