2005-重庆卷文-06 单-角与三角函数不等式的充要关系

本题导读

本题考查充分必要条件的判定与正弦函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 已知 $\alpha$、$\beta$ 均为锐角，若 $p:\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$，$q:\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$，则 $p$ 是 $q$ 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $q\Rightarrow p$：$\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$ 时 $\beta <\frac{\pi }{2}-\alpha$，$\sin (\alpha +\beta )<\cos \alpha =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$，而 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$ 成立（$\alpha +\beta >\alpha$ 且同在增区间）。
2. $p\nRightarrow q$：取 $\alpha =30^{\circ }$、$\beta =80^{\circ }$，$\sin 30^{\circ }<\sin 110^{\circ }$ 成立但 $\alpha +\beta =110^{\circ }>\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

若 $q$ 成立，即 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$，则 $\alpha <\alpha +\beta$，且 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$ 时两角同在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内，由正弦函数递增得 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$，即 $q\Rightarrow p$．反之，若 $p$ 成立，不能保证 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$：例如 $\alpha =30^{\circ }$，$\beta =80^{\circ }$，$\sin 30^{\circ }<\sin 110^{\circ }$ 成立，但 $\alpha +\beta =110^{\circ }>\frac{\pi }{2}$，即 $p\nRightarrow q$．故 $p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：角与三角函数不等式的充要关系

核心方法：$q\Rightarrow p$：$\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$；$p\nRightarrow q$：$\beta$ 大时反例

避坑指南：$\sin$ 在 $(0,\pi )$ 上先增后减，由 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$ 推不出 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$（如 $\alpha +\beta >\pi -\alpha$）；方向：$q$ 是 $p$ 的充分不必要？——本题 $p$ 是 $q$ 的必要不充分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 常用逻辑用语

结论推广：$q\Rightarrow p$ 成立；$p\Rightarrow q$ 取 $\alpha +\beta$ 接近 $\pi$ 的反例不成立——$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件

方法推广：正弦不等式与角度不等式的方向差异来自 $\sin$ 的非单调性；举反例优先取区间端点附近

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-04 单-充分不必要条件
• 2006-江西文-04 单-必要不充分条件
• 2008-重庆文-02 单-充分不必要条件