2005-重庆卷文-04 单-向量数量积与坐标运算

本题导读

本题考查向量数量积与数乘向量的混合运算。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 设向量 $\vec{a}=(-1,2)$，$\vec{b}=(2,-1)$，则 $(\vec{a}\cdot \vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$ 等于()

A. $(1,1)$　　　　B. $(-4,-4)$　　　　C. $-4$　　　　D. $(-2,-2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1\times 2+2\times (-1)=-4$。
2. $\vec{a}+\vec{b}=(1,1)$。
3. 数乘：$-4\times (1,1)=(-4,-4)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\vec{a}\cdot \vec{b}=(-1)\times 2+2\times (-1)=-4$，$\vec{a}+\vec{b}=(-1+2,2-1)=(1,1)$．故 $(\vec{a}\cdot \vec{b})(\vec{a}+\vec{b})=-4\times (1,1)=(-4,-4)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与坐标运算

核心方法：先算括号里的数量积得一个数 $-4$，再用它去乘向量 $\vec{a}+\vec{b}=(1,1)$，得 $(-4,-4)$。本题四个选项里 $-4$ 与 $(-4,-4)$ 同时在场，就看考生分不分得清”数”与”向量”。

避坑指南：数量积是标量，数乘向量是缩放——$(-4)(1,1)=(-4,-4)$；别把数量积当向量相加

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 平面向量

结论推广：$\vec{a}\cdot \vec{b}=-4$，$-4(\vec{a}+\vec{b})=(-4,-4)$

方法推广：数量积是数、数乘向量缩放坐标——先算点乘再数乘，两步别混

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-04 填-向量数量积与轨迹
• 2006-全国卷I文-01 单-向量数量积求夹角
• 2005-湖北卷文-17 解-向量数量积构造函数求参数