2005-辽宁卷-10 单-函数的单调性

本题导读

本题考查单调函数的代数性质与区间位置关系的综合应用，通过抽象函数的绝对值不等式测试分类讨论、逻辑推理以及将代数式几何化的能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 已知 $y=f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的单调函数，实数 $x_1\ne x_2$，$\lambda \ne -1$，$\alpha =\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$，$\beta =\frac{x_2+\lambda x_1}{1+\lambda }$，若 $|f(x_1)-f(x_2)|<|f(\alpha )-f(\beta )|$，则()

A. $\lambda <0$　　　　　　B. $\lambda =0$　　　　　　C. $0<\lambda <1$　　　　　　D. $\lambda ⩾1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 特殊函数法：由于不等式对任意单调函数均成立，可构造最基础的单调函数 $f(x)=x$，将抽象函数问题直接转化为两点间距离的代数比较。
2. 区间包含法：计算出 $\alpha -\beta$ 与 $x_1-x_2$ 的比例关系，分析 $\lambda$ 的取值对自变量区间范围的影响，通过单调性对应的区间包含关系完成严谨证明。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊函数法 因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的任意单调函数，不妨令 $f(x)=x$。 此时，已知的不等式 $|f(x_1)-f(x_2)|<|f(\alpha )-f(\beta )|$ 转化为： $|x_1-x_2|<|\alpha -\beta |$ 将 $\alpha$ 与 $\beta$ 的表达式代入上式右边，进行因式分解与化简： $|\alpha -\beta |=\left|\frac{x_1+\lambda x_2-(x_2+\lambda x_1)}{1+\lambda }\right|=\left|\frac{(1-\lambda )(x_1-x_2)}{1+\lambda }\right|=\left|\frac{1-\lambda }{1+\lambda }\right|\cdot |x_1-x_2|$ 代入原不等式得： $|x_1-x_2|<\left|\frac{1-\lambda }{1+\lambda }\right|\cdot |x_1-x_2|$ 因为 $x_1\ne x_2$，所以 $|x_1-x_2|>0$，两边同时除以 $|x_1-x_2|$ 得： $\left|\frac{1-\lambda }{1+\lambda }\right|>1$ 两边平方展开： $(1-\lambda {)}^2>(1+\lambda {)}^2⟹1-2\lambda +{\lambda }^2>1+2\lambda +{\lambda }^2$ 化简可得： $4\lambda <0⟹\lambda <0$

方法二：区间包含法（严格论证） 不妨设 $x_1<x_2$，且 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。 当 $\lambda <0$ 且 $\lambda \ne -1$ 时，分析分点 $\alpha ,\beta$ 的空间位置： ① 若 $-1<\lambda <0$，则 $1+\lambda >0$。 $\alpha =\frac{1}{1+\lambda }{x}_1+\frac{\lambda }{1+\lambda }{x}_2$，由系数关系知 $\frac{1}{1+\lambda }>1$ 且 $\frac{\lambda }{1+\lambda }<0$，故 $\alpha <x_1$； 同理可得 $\beta >x_2$。此时数轴上点的位置顺序为 $\alpha <x_1<x_2<\beta$。 由 $f(x)$ 的严格单调递增性，有 $f(\alpha )<f(x_1)<f(x_2)<f(\beta )$。 则 $|f(\alpha )-f(\beta )|=f(\beta )-f(\alpha )>f(x_2)-f(x_1)=|f(x_1)-f(x_2)|$ 恒成立。

② 若 $\lambda <-1$，则 $1+\lambda <0$。 同理可推得数轴上点的位置顺序变为 $\beta <x_1<x_2<\alpha$。 由 $f(x)$ 的单调递增性，有 $f(\beta )<f(x_1)<f(x_2)<f(\alpha )$。 则 $|f(\alpha )-f(\beta )|=f(\alpha )-f(\beta )>f(x_2)-f(x_1)=|f(x_1)-f(x_2)|$ 亦恒成立。

综上所述，必有 $\lambda <0$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单调函数在较大区间上的端点值之差的绝对值必然更大，即区间包含关系 $[x_1,x_2]\subset [\alpha ,\beta ]⟹|f(x_1)-f(x_2)|<|f(\alpha )-f(\beta )|$。
2. 核心方法：选择题中利用特殊函数法（将抽象函数具体化）实现高维题目的降维打击。
3. 避坑指南：避免直接对抽象复合函数进行繁琐求导或代数变形，极易在分母 $1+\lambda$ 的正负号讨论中产生逻辑漏洞。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于平面直角坐标系中线段定比分点公式的变形结构。$\alpha$ 和 $\beta$ 关于 $x_1,x_2$ 具有对称的权重结构，其几何本质是一对以 $x_1,x_2$ 为基准同步向外或向内延伸的控制点。
2. 结论推广：对任意严格单调函数 $f(x)$，若自变量区间满足严格包含关系 $I_1⊊I_2$，则函数值域区间亦满足严格包含关系 $f(I_1)⊊f(I_2)$，端点处的绝对差值定量关系保持方向一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 18.11 定比分点公式及定比点差法

类题演练 (Links)