2005-福建卷文-13 填-二项式定理的常数项

本题导读

本题考查二项式定理的常数项求法，以及通项公式中幂指数的配平。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） ${\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)}^6$ 展开式中的常数项是$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写通项 $T_{k+1}$。
2. 令 $x$ 的指数为 0 解 $k$。
3. 代入求值。

✅【答案】

Success

$240$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2\sqrt{x}{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k{2}^{6-k}(-1{)}^k{x}^{3-\frac{3k}{2}}$．令 $3-\frac{3k}{2}=0$，得 $k=2$．常数项为 ${\mathrm{C}}_6^2\cdot 2^4\cdot (-1{)}^2=15\times 16=240$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的常数项

核心方法：通项令 $x$ 指数为零解 $k$，再代回求值

避坑指南：把 $(2\sqrt{x}{)}^{6-k}$ 中系数 $2^{6-k}$ 丢掉只算 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 是高频失误；符号 $(-1{)}^2=1$ 别漏乘

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 二项式定理

结论推广：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；含根式与分式的常数项问题指数配平后 $k$ 必为整数

方法推广：求常数项先令指数为零解 $k$，若 $k$ 非整数则无常数项——先验证再代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项