2005-福建卷文-04 单-余弦函数的单调区间

本题导读

本题考查余弦型函数的单调递减区间，以及整体代换的判断方法。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 函数 $y=\cos 2x$ 在下列哪个区间上是减函数()

A. $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$　　　　B. $\left[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$　　　　C. $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$　　　　D. $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$

🔍【思路分析】

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1. 令 $t=2x$，$\cos t$ 的减区间为 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$。
2. 逐项把区间代入核对。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=2x$，$\cos t$ 的减区间为 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ](k\in \mathbf{Z})$，即 $x\in \left[k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{2}\right]$．逐项核对：C 中 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $2x\in [0,\pi ]$，函数在整段递减，符合；A 中 $2x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，先增后减；B 中 $2x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，先减后增；D 中 $2x\in [\pi ,2\pi ]$，递增．故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦函数的单调区间

核心方法：令 $t=2x$ 整体代换，$t$ 落入 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$ 即减

避坑指南：别把 $[0,\pi ]$ 直接当成 $x$ 的减区间——先除以 $2$；D 中 $2x\in [\pi ,2\pi ]$ 恰是 $\cos t$ 的增区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角函数的图象与性质

结论推广：$y=\cos \omega x$（$\omega >0$）的减区间为 $\left[\frac{2k\pi }{\omega },\frac{(2k+1)\pi }{\omega }\right](k\in \mathbf{Z})$

方法推广：复合三角函数的单调性一律先整体代换，把内层落到基本函数的对应区间再回代

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II理-04 单-正切函数的单调性
• 2018-全国卷II文-10 单-三角函数单调性
• 2017-全国卷III文-06 单-两角和差