2005-全国卷II理-04 单-正切函数的单调性

本题导读

本题核心考查正切函数 $y=\tan \omega x$ 的单调性。通过正切函数的单调递增基本性质，结合系数 $\omega$ 的符号改变单调性，利用区间包含关系列出关于 $\omega$ 的不等式求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 已知函数 $y=\tan \omega x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内是减函数，则()

A. $0<\omega \le 1$　　　　　　B. $-1\le \omega <0$　　　　　　C. $\omega \ge 1$　　　　　　D. $\omega \le -1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正切函数基本性质知 $y=\tan t$ 在单调区间内为增函数，若 $y=\tan \omega x$ 为减函数，必有 $\omega <0$。
2. 写出 $\omega <0$ 时该函数的单调递减区间，令已知区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 为其子集，列出不等式组求解 $\omega$ 的范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

基本正切函数 $y=\tan t$ 在每一个开区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$（$k\in \mathbb{Z}$）内均为严格单调增函数。 由于函数 $y=\tan \omega x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内是减函数，自变量系数必满足 $\omega <0$。

当 $\omega <0$ 时，令： $-\frac{\pi }{2}<\omega x<\frac{\pi }{2}$ 两边同除以 $\omega$（不等号反向）得该函数包含原点的单调递减区间为： $\frac{\pi }{2\omega }<x<-\frac{\pi }{2\omega }$

因为函数在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内是减函数，所以 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\subseteq \left(\frac{\pi }{2\omega },-\frac{\pi }{2\omega }\right)$。 根据区间包含关系，必有： $\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2\omega }\le -\frac{\pi }{2}\\ -\frac{\pi }{2\omega }\ge \frac{\pi }{2}\end{array}$

解得 $\frac{1}{\omega }\le -1$。 因为 $\omega <0$，两边同乘以 $\omega$ 得 $1\ge -\omega ⟹\omega \ge -1$。 结合 $\omega <0$，得 $\omega$ 的取值范围为 $[-1,0)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切函数的单调区间、复合函数“同增异减”原理、区间包含的边界条件。
2. 核心方法：整体代换法求出含有参数的单调区间，利用子集关系建立端点不等式。
3. 避坑指南：

• 极易忽略正切函数存在两条渐近线之间的定义域限制，仅仅由 $\omega x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 错推而漏掉边界，误选 D。
• 在有向不等式缩放中，对 $\omega <0$ 乘以负数时忘记改变不等号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中三角函数单调性质的逆向运用题型，重点考查对函数单调性的“在区间内”与“单调区间”两个概念的区别（前者是后者的子集）。
2. 结论推广：对于函数 $y=\tan \omega x$ （$\omega \ne 0$），其在区间 $(a,b)$（$a<b$）内单调，则该区间的长度 $(b-a)$ 绝不能超过该函数的半个周期 $\frac{\pi }{|\omega |}$，即满足 $\Delta x=b-a\le \frac{\pi }{|\omega |}⟹|\omega |\le \frac{\pi }{b-a}$。本题中 $\Delta x=\pi$，故 $|\omega |\le 1$，结合减函数知 $\omega <0$，直接得 $-1\le \omega <0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

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