2005-湖南卷理-20 解-数列的递推关系式

本题导读

本题是一道以生态资源可持续利用为背景的数学建模应用题。核心考查意图是利用数列递推关系建立一元二次函数模型，并通过函数的单调性、值域以及数学归纳法分析其长期生存的临界条件。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 $x_n$ 表示某鱼群在第 $n$ 年年初的总量, $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$, 且 $x_1>0$. 不考虑其它因素，设在第 $n$ 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 $x_n$ 成正比，死亡量与 $x_n^2$ 成正比，这些比例系数依次为正常数 $a,b,c$.

(1) 求 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的关系式；

(2) 猜测：当且仅当 $x_1,a,b,c$ 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要要求证明）

(3) 设 $a=2,c=1$，为保证对任意 $x_1\in (0,2)$，都有 $x_n>0,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则捕捞强度 $b$ 的最大允许值是多少？证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据实际数量关系列出递推式：第 $n+1$ 年年初的总量 $=$ 第 $n$ 年年初总量 $+$ 繁殖量 $-$ 捕捞量 $-$ 死亡量。
2. 恒定状态转化：总量保持不变意味着 $x_{n+1}=x_n=x_1$，代入递推式并结合 $x_1>0$ 约简求解。
3. 临界阻断与归纳证明：将参数代入，利用反证法说明当 $b>1$ 时必能找到某个 $x_1$ 导致 $x_2<0$；再用数学归纳法证明 $b=1$ 时，对任意 $x_1\in (0,2)$ 均有 $x_n>0$ 恒成立。

✅【答案】

Success

捕捞强度 $b$ 的最大允许值是 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，第 $n$ 年内的繁殖量为 $a{x}_n$，捕捞量为 $b{x}_n$，死亡量为 $c{x}_n^2$。 则第 $n+1$ 年年初的鱼群总量为： $x_{n+1}=x_n+a{x}_n-b{x}_n-c{x}_n^2=(1+a-b)x_n-c{x}_n^2$

(2) 要使每年年初鱼群的总量保持不变，需满足 $x_{n+1}=x_n=x_1$。 代入得： $x_1=(1+a-b)x_1-c{x}_1^2⟹c{x}_1^2-(a-b)x_1=0$。 因为 $x_1>0,c>0$，两边同除以 $x_1$ 得： $c{x}_1=a-b⟹x_1=\frac{a-b}{c}$。 同时，由于 $x_1>0,c>0$，必有 $a>b$。 故猜测条件为： $x_1=\frac{a-b}{c}$ 且 $a>b$。

(3) 当 $a=2,c=1$ 时，递推关系式为： $x_{n+1}=(3-b)x_n-x_n^2=x_n(3-b-x_n)$ 捕捞强度 $b$ 的最大允许值是 $1$。证明如下：

① 证明必要性（利用反证法）： 假设 $b>1$，则 $3-b<2$。 因为已知 $x_1\in (0,2)$，我们总可以在区间 $(3-b,2)$ 内任取一个 $x_1$。 此时 $3-b-x_1<0$，而 $x_1>0$， 代入递推式得 $x_2=x_1(3-b-x_1)<0$，这与对任意 $x_1\in (0,2)$ 都有 $x_n>0$ 矛盾。 因此，必有 $b\le 1$。

② 证明充分性（利用数学归纳法）： 当 $b=1$ 时，递推式为 $x_{n+1}=2x_n-x_n^2=x_n(2-x_n)$。 下面用数学归纳法证明：对任意 $x_1\in (0,2)$，都有 $x_n\in (0,2)$ 恒成立。 （i）当 $n=1$ 时，由题意 $x_1\in (0,2)$ 显然成立； （ii）假设当 $n=k$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 时， $x_k\in (0,2)$ 成立。 则当 $n=k+1$ 时， $x_{k+1}=-x_k^2+2x_k=-(x_k-1{)}^2+1$。 因为 $x_k\in (0,2)$，所以 $0\le (x_k-1{)}^2<1$， 从而 $0<-(x_k-1{)}^2+1\le 1$。 即 $x_{k+1}\in (0,1]\subset (0,2)$ 成立。 根据 (i)(ii) 可知，对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，都有 $x_n\in (0,2)$，从而 $x_n>0$ 恒成立。

综上所述，捕捞强度 $b$ 的最大允许值是 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：非线性递推数列的符号控制，二次函数在给定区间上的值域区间嵌套。
2. 核心方法：数学归纳法是处理“对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 命题均成立”的标准化工具；临界边界的探索常采用反证法。
3. 避坑指南：第三问中，仅证出 $b\le 1$ 不算完整破题，必须通过数学归纳法严格证明当 $b=1$ 时其后续所有项均落入正值区间内（即值域的自身完备性： $f(I)\subseteq I$），否则逻辑不闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有极其重要的高等数学背景，其原型为群体生态学中著名的逻辑斯蒂映射（Logistic Map）： $x_{n+1}=\mu x_n(1-x_n)$，常用于研究混沌现象与种群动力学。命题者将其剥离出高深外壳，构造成适合高考单调性与数学归纳法考查的代数载体。
2. 结论推广：若递推关系为 $x_{n+1}=A{x}_n-x_n^2$，要使任意 $x_1\in (0,m)$ 都能保证 $x_n>0$ 恒成立，其临界充要条件为 $A\ge m$ 且 $f(\frac{A}{2})=\frac{A^2}{4}\le A⟹A\le 4$。本题中 $A=3-b,m=2$，故 $3-b\ge 2⟹b\le 1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)