2002-苏豫粤卷-22 解-二次函数的图象与性质

本题导读

本题作为压轴题，考查含参数二次函数在闭区间上的最值与恒成立问题。重点在于通过配方法确定二次函数的顶点坐标及对称轴位置，结合参数的范围对区间最值进行分类讨论，考查逻辑推理、分类讨论以及代数符号运算的综合素养。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=ax-b{x}^2$.

(1)当 $b>0$ 时，若对任意 $x\in \mathbf{R}$ 都有 $f(x)\le 1$，证明：$a\le 2\sqrt{b}$；

(2)当 $b>1$ 时，证明：对任意 $x\in [0,1]$， $|f(x)|\le 1$ 的充要条件是 $b-1\le a\le 2\sqrt{b}$；

(3)当 $0<b\le 1$ 时，讨论：对任意 $x\in [0,1]$， $|f(x)|\le 1$ 的充要条件.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问恒成立问题：当 $b>0$ 时，$f(x)=-b{x}^2+ax$ 是开口向下的抛物线。对任意 $x\in \mathbf{R}$ 都有 $f(x)\le 1$，等价于该二次函数的最大值小于或等于 $1$。利用配方求出顶点纵坐标，列出不等式即可证明。
2. 第二问充要条件证明：

• 条件 $|f(x)|\le 1$ 等价于 $-1\le f(x)\le 1$ 在 $x\in [0,1]$ 上恒成立。
• 必要性：由恒成立可取特殊边界点 $x=1$ 得到 $f(1)\ge -1⟹a\ge b-1$；同时最大值不大于 $1$ 得到 $a\le 2\sqrt{b}$。
• 充分性：在 $b-1\le a\le 2\sqrt{b}$ 的条件下，分析对称轴 $x=\frac{a}{2b}$ 的范围，结合单调性验证在该区间内其最大值不超过 $1$，最小值不小于 $-1$。

3. 第三问分类讨论：仿照第二问的分析方法，由于 $0<b\le 1$，对称轴及边界点的相对位置会发生改变。重点考察 $x=1$ 时 $f(1)=a-b\ge -1$ 是否恒成立，以及最大值落入区间的临界状况，对 $a$ 的范围进行精细分段。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(3) 当 $0<b⩽1$ 时，充要条件为 $a⩽b+1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：当 $b>0$ 时， $a\le 2\sqrt{b}$

证明：将函数 $f(x)=-b{x}^2+ax$ 进行配方： $f(x)=-b{\left(x-\frac{a}{2b}\right)}^2+\frac{a^2}{4b}$ 因为 $b>0$，抛物线开口向下，所以 $f(x)$ 在 $x=\frac{a}{2b}$ 处取得最大值 $f(x{)}_{\max }=\frac{a^2}{4b}$。 要使对任意 $x\in \mathbf{R}$ 都有 $f(x)\le 1$，只需： $\frac{a^2}{4b}\le 1⟹a^2\le 4b$ 由于 $a>0,b>0$，两边开方得： $a\le 2\sqrt{b}$ 第一问得证。

（2）证明：当 $b>1$ 时， $|f(x)|\le 1$ 在 $x\in [0,1]$ 上恒成立的充要条件是 $b-1\le a\le 2\sqrt{b}$

证明： ① 必要性： 若对任意 $x\in [0,1]$，都有 $-1\le f(x)\le 1$。 取 $x=1\in [0,1]$，则 $f(1)=a-b\ge -1⟹a\ge b-1$。 又因为 $[0,1]\subset \mathbf{R}$，区间内的最大值必然不超过全集的最大值 $\frac{a^2}{4b}$。 同时，由 $b>1$ 及 $a\ge b-1>0$ 可知，对称轴 $x_0=\frac{a}{2b}\ge \frac{b-1}{2b}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2b}$。 当 $a\le 2b$ 时， 对称轴 $x_0=\frac{a}{2b}\le 1$，此时顶点 $x_0\in [0,1]$ 必能取到，最大值即为 $\frac{a^2}{4b}$，故 $\frac{a^2}{4b}\le 1⟹a\le 2\sqrt{b}$。 当 $a>2b$ 时，由于 $b>1⟹2b>2\sqrt{b}$，则 $a>2\sqrt{b}$，此时 $f(1)=a-b>2b-b=b>1$，与 $f(1)\le 1$ 矛盾。 综上所述，必要性成立，必有 $b-1\le a\le 2\sqrt{b}$。

② 充分性： 若 $b-1\le a\le 2\sqrt{b}$。 因为 $b>1$，所以 $2\sqrt{b}<2b$，从而 $a\le 2\sqrt{b}<2b⟹\frac{a}{2b}<1$。 又 $a\ge b-1>0$，所以对称轴 $x_0=\frac{a}{2b}\in (0,1)$。 由于 $b>0$，函数在 $[0,1]$ 上的最大值为顶点处的值： $f(x{)}_{\max }=f\left(\frac{a}{2b}\right)=\frac{a^2}{4b}$ 因为 $a\le 2\sqrt{b}⟹a^2\le 4b$，所以 $f(x{)}_{\max }\le 1$。

函数在区间 $[0,1]$ 上的最小值为两端点 $f(0)$ 与 $f(1)$ 中的较小者。 $f(0)=0\ge -1$ $f(1)=a-b$ 因为 $a\ge b-1⟹a-b\ge -1$，所以 $f(1)\ge -1$。 因此，在区间 $x\in [0,1]$ 上， $f(x{)}_{\min }\ge -1$。 综上可知，对任意 $x\in [0,1]$， $-1\le f(x)\le 1$ 恒成立，充分性得证。

（3）讨论：当 $0<b\le 1$ 时，对任意 $x\in [0,1]$， $|f(x)|\le 1$ 的充要条件

解：对任意 $x\in [0,1]$， $|f(x)|\le 1⟹-1\le f(x)\le 1$。 因为 $f(0)=0\in [-1,1]$ 恒成立，且当 $x\in [0,1]$ 时 $b{x}^2\ge 0⟹f(x)=ax-b{x}^2\le ax$。 对于下界，由于 $b>0$，当 $x\in [0,1]$ 时 $f(x)\ge f(x{)}_{\min }$。端点 $f(1)=a-b$。 因为 $a>0$ 且 $0<b\le 1$，所以 $f(1)=a-b>0-1=-1$ 恒成立。 由于对称轴为 $x_0=\frac{a}{2b}>0$，需根据对称轴与区间 $[0,1]$ 的相对位置进行分类讨论：

情况①：对称轴在区间内，即 $\frac{a}{2b}\le 1⟹0<a\le 2b$ 此时 $x=\frac{a}{2b}\in (0,1]$，最大值为顶点值： $f(x{)}_{\max }=f\left(\frac{a}{2b}\right)=\frac{a^2}{4b}$ 要使 $f(x)\le 1$ 恒成立，只需 $\frac{a^2}{4b}\le 1⟹a\le 2\sqrt{b}$。 由于 $0<b\le 1⟹2b\le 2\sqrt{b}$，故在 $0<a\le 2b$ 时， $a\le 2\sqrt{b}$ 恒成立。 此时的条件为：$0<a\le 2b$。

情况②：对称轴在区间外，即 $\frac{a}{2b}>1⟹a>2b$ 此时因为 $\frac{a}{2b}>1$，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。 最大值在右端点 $x=1$ 处取得： $f(x{)}_{\max }=f(1)=a-b$ 要使 $f(x)\le 1$ 恒成立，只需 $a-b\le 1⟹a\le b+1$。 此时必须满足 $2b<a\le b+1$。这一区间存在的先决条件是 $2b<b+1⟹b<1$。

统一合并结论：

• 当 $0<b<1$ 时，结合情况①与情况②， $a$ 的取值范围为 $(0,2b]\cup (2b,b+1]=(0,b+1]$；
• 当 $b=1$ 时，情况②中 $2b<a\le b+1⟹2<a\le 2$ 无解，此时仅剩情况①， $a$ 的取值范围为 $(0,2]=(0,b+1]$。

综上所述，当 $0<b\le 1$ 时，对任意 $x\in [0,1]$， $|f(x)|\le 1$ 的充要条件是： $0<a\le b+1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数在闭区间上的最值问题，轴动区间定时的最值分类讨论，充要条件的双向严格论证。
2. 核心方法：边界值突破法。处理闭区间恒成立问题时，优先代入特殊边界值（如 $x=1$）往往能直接锁定核心必要条件，从而大大简化解题方向。
3. 避坑指南：

• 第二问中极易漏掉必要性的证明，充要条件题型必须分别交待“充分性”与“必要性”或确保每一步变形皆为等价变形；

• 第三问分类讨论时，易惯性地认为最大值一直在顶点处取得，从而错用 $a\le 2\sqrt{b}$。务必注意当对称轴 $\frac{a}{2b}>1$ 时，区间最大值已转移到端点 $f(1)$ 处。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是典型的高考代数压轴题，源于课本中二次函数在闭区间上最值的基本分类讨论模型（常称“轴动区间定”或“轴定区间动”）。
2. 结论推广：对于二次函数 $f(x)=-b{x}^2+ax(b>0)$ 在区间 $[0,1]$ 上的绝对值有界问题 $|f(x)|\le M$：

• 当对称轴落入区间内时，受顶点值约束；
• 当对称轴落入区间外时，整个区间单调，受端点值约束。其本质是借助几何图象的上下边界限制，来完成多参数之间代数范围的协同放缩。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-10 填-二次函数
• 2005-湖南卷理-20 解-数列的递推关系式
• 2008-江西卷理-12 单-函数