2005-湖南卷文-21 解-椭圆离心率与对称点综合

本题导读

本题考查椭圆与直线位置关系、点关于直线的对称点及离心率的综合运用。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点为 $F_1$、$F_2$，离心率为 $e$．直线 $l:y=ex+a$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、$B$，$M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点，$P$ 是点 $F_1$ 关于直线 $l$ 的对称点，设 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}$．

(1)证明：$\lambda =1-e^2$；

(2)若 $\lambda =\frac{3}{4}$，$△P{F}_1{F}_2$ 的周长为 6，写出椭圆 $C$ 的方程；

(3)确定 $\lambda$ 的值，使得 $△P{F}_1{F}_2$ 是等腰三角形．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A\left(-\frac{a}{e},0\right)$、$B(0,a)$，$\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 定 $M$，代入椭圆化出 $(\lambda -(1-e^2){)}^2=0$。
2. $\lambda =\frac{3}{4}\Rightarrow e=\frac{1}{2}$；由对称性 $P{F}_1=2d(F_1,l)$、$P{F}_2=2a$，周长定 $a$。
3. 等腰只能 $P{F}_1=F_1{F}_2$（$P{F}_2=2a$ 最大），解出 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\lambda =1-e^2=\frac{2}{3}$。

✅【答案】

Success

所以λ= 1 −e2 = \dfrac23

✍【详细解析】

Abstract

（1）记椭圆的半焦距为 $c$，则 $c=ae$，$b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)$，$0<e<1$．直线 $l$ 与坐标轴的交点为 $A\left(-\frac{a}{e},0\right)$，$B(0,a)$．由 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 得 $M\left(\frac{a(\lambda -1)}{e},a\lambda \right)$．将点 $M$ 代入椭圆方程，得 $\frac{(\lambda -1{)}^2}{e^2}+\frac{{\lambda }^2}{1-e^2}=1$．两边乘以 $e^2(1-e^2)$，整理得 $(1-e^2)(\lambda -1{)}^2+e^2{\lambda }^2=e^2(1-e^2)$，即 $(\lambda -(1-e^2){)}^2=0$，所以 $\lambda =1-e^2$． （2）当 $\lambda =\frac{3}{4}$ 时，$1-e^2=\frac{3}{4}$，$e^2=\frac{1}{4}$，$e=\frac{1}{2}$．$F_1(-ae,0)$，$F_2(ae,0)$，直线 $l:ex-y+a=0$．记 $\delta =\frac{e(-ae)+a}{1+e^2}=\frac{a(1-e^2)}{1+e^2}$，由对称点公式，$P=(-ae-2e\delta ,2\delta )=\left(-\frac{ae(3-e^2)}{1+e^2},\frac{2a(1-e^2)}{1+e^2}\right)$．因此 $P{F}_1=2\mathrm{dist}(F_1,l)=\frac{2a(1-e^2)}{\sqrt{1+e^2}}$，$P{F}_2=2a$，$F_1{F}_2=2ae$．$△P{F}_1{F}_2$ 的周长为 $2a\left(\frac{1-e^2}{\sqrt{1+e^2}}+1+e\right)$．代入 $e=\frac{1}{2}$ 和周长为 6，得 $\frac{3a}{\sqrt{5}}+2a+a=6$，所以 $a=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$a^2=\frac{5(3-\sqrt{5})}{2}$，$b^2=a^2(1-e^2)=\frac{15(3-\sqrt{5})}{8}$．故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{\frac{5(3-\sqrt{5})}{2}}+\frac{y^2}{\frac{15(3-\sqrt{5})}{8}}=1$． （3）因为 $0<e<1$，所以 $P{F}_1<P{F}_2$，且 $P{F}_2=2a>2ae=F_1{F}_2$．因而等腰三角形只能满足 $P{F}_1=F_1{F}_2$，即 $\frac{1-e^2}{\sqrt{1+e^2}}=e$．两边平方得 $(1-e^2{)}^2=e^2(1+e^2)$，即 $1-3e^2=0$，由 $e>0$ 得 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以 $\lambda =1-e^2=\frac{2}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率与对称点综合

核心方法：$M\left(\frac{a(\lambda -1)}{e},a\lambda \right)$ 代椭圆化简 $(\lambda -(1-e^2){)}^2=0$；周长定 $a$；等腰定 $\lambda =2/3$

避坑指南：(1) 是恒等式配方非韦达；(2) $P{F}_1=2d$（对称距离）、$P{F}_2=2a$ 别写反；(3) 等腰只能 $P{F}_1=F_1{F}_2$（$P{F}_2$ 最大）——解 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 椭圆综合

结论推广：$\lambda =1-e^2$；$a=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$；等腰时 $\lambda =\frac{2}{3}$

方法推广：直线 $y=ex+a$ 是椭圆左顶点处切线相关直线；对称点距离 $P{F}_1=2d$、$P{F}_2=2a$ 恒定——等腰分类先比三边大小

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2020-新课标III文-21 解-椭圆综合
• 2016-全国卷II文-21 解-椭圆