2005-湖南卷文-20 解-等可能事件的分组概率

本题导读

本题考查等可能事件与古典概型的概率计算。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．

(1)求 3 个景区都有部门选择的概率；

(2)求恰有 2 个景区有部门选择的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每个部门 3 种选择，总数 $3^4=81$。
2. (1) 3 景区都有人选 = 恰一景区 2 部门：$3{\mathrm{C}}_4^2\cdot 2$。
3. (2) 恰 2 景区有人选：${\mathrm{C}}_3^2(2^4-2)$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{4}{9}$；(2) $\frac{14}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

每个部门有 3 种选择，且各部门的选择相互独立，所以所有选择的总数为 $3^4=81$． （1）若 3 个景区都有部门选择，则一个景区有 2 个部门选择，另外两个景区各有 1 个部门选择．先选出有 2 个部门的景区，有 3 种；再从 4 个部门中选出这 2 个部门，有 ${\mathrm{C}}_4^2$ 种；剩下的两个部门分别选择另外两个景区，有 2 种．故所求概率为 $\frac{3{\mathrm{C}}_4^2\cdot 2}{3^4}=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}$． （2）若恰有 2 个景区有部门选择，先选出这 2 个景区，有 ${\mathrm{C}}_3^2$ 种．对固定的两个景区，所有部门在其中选择共有 $2^4$ 种，其中全部选择第一个或全部选择第二个的情形各有 1 种，故恰好使用两个景区有 $2^4-2$ 种．故所求概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_3^2(2^4-2)}{3^4}=\frac{42}{81}=\frac{14}{27}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等可能事件的分组概率

核心方法：总数 $3^4=81$；(1) $3{\mathrm{C}}_4^2\cdot 2/81=4/9$；(2) ${\mathrm{C}}_3^2(2^4-2)/81=14/27$

避坑指南：(1) “都有部门选”= 恰有一个景区 2 部门（4 人分 3 景区必有一景区 2 人）——分子 $3{\mathrm{C}}_4^2\cdot 2=36$；(2) 减去全选同一景区的 2 种

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 等可能概率

结论推广：(1) $\frac{3{\mathrm{C}}_4^2\cdot 2}{3^4}=\frac{4}{9}$；(2) $\frac{{\mathrm{C}}_3^2(2^4-2)}{3^4}=\frac{14}{27}$

方法推广：分母统一 $3^4$；(1) 4 部门 3 景区”全用到”必一景区双部门；(2) “恰两景区”扣除全同两种

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件
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