2005-湖南卷文-03 单-指数根式函数的定义域

本题导读

本题考查含指数式的根式函数定义域的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 函数 $f(x)=\sqrt{1-2^x}$ 的定义域是()

A. $(-\infty ,0]$　　　　　B. $[0,+\infty )$　　　　　C. $(-\infty ,0)$　　　　　D. $(-\infty ,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 根式有意义：$1-2^x⩾0$。
2. $2^x⩽2^0$，由单调性得 $x⩽0$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)$ 有意义，需 $1-2^x⩾0$，即 $2^x⩽2^0$．因为 $y=2^x$ 单调递增，所以 $x⩽0$，故定义域为 $(-\infty ,0]$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数根式函数的定义域

核心方法：$1-2^x⩾0⟺2^x⩽1⟺x⩽0$

避坑指南：被开方数是 $1-2^x$ 不是 $1-2x$——底为 $2$ 的指数不等式单调递减方向别反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数定义域

结论推广：$2^x⩽2^0⟺x⩽0$，定义域 $(-\infty ,0]$

方法推广：指数不等式恒用单调性化同底比较——底大于 1 时不等号不反向

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-04 单-对数模型
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2005-全国卷II理-03 单-反函数的概念与求法