2005-湖北卷文-22 解-椭圆中点弦与四点共圆

本题导读

本题考查椭圆与直线位置关系、中点弦问题，以及四点共圆的存在性证明。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 设 $A$、$B$ 是椭圆 $3x^2+y^2=\lambda$ 上的两点，点 $N(1,3)$ 是线段 $AB$ 的中点，线段 $AB$ 的垂直平分线与椭圆相交于 $C$、$D$ 两点．

(1)确定 $\lambda$ 的取值范围，并求直线 $AB$ 的方程；

(2)试判断是否存在这样的 $\lambda$，使得 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点在同一个圆上？并说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AB$ 斜率为 $k$，代入椭圆，由中点 $N$ 的横坐标和韦达定理定 $k$。
2. 令 $A(1+s,3-s)$、$B(1-s,3+s)$ 代椭圆求 $\lambda$ 与 $s$ 关系。
3. 由 $s\ne 0$ 得 $\lambda >12$。
4. 构造圆方程代入 $A,B,C,D$ 验证共圆。

✅【答案】

Success

(1) $\lambda \in (12,+\infty )$，直线 $AB$ 的方程为 $x+y-4=0$；

(2) 存在，且对任意 $\lambda >12$，$A$、$B$、$C$、$D$ 四点均在同一个圆上．

✍【详细解析】

Abstract

（1）直线 $AB$ 不可能是竖直线（若 $x=1$，椭圆上两交点纵坐标之和为 0，中点纵坐标为 0，不可能是 $N(1,3)$）．设 $AB$ 斜率为 $k$，方程为 $y-3=k(x-1)$，代入椭圆得 $(3+k^2)x^2+2k(3-k)x+(3-k{)}^2-\lambda =0$．设 $A,B$ 横坐标分别为 $x_1,x_2$，由 $N(1,3)$ 为中点得 $x_1+x_2=2$，由韦达定理 $\frac{-2k(3-k)}{3+k^2}=2$，即 $-2k(3-k)=2(3+k^2)$，得 $k=-1$，故直线 $AB$ 的方程为 $x+y-4=0$．令 $A(1+s,3-s)$，$B(1-s,3+s)$，代入椭圆得 $3(1+s{)}^2+(3-s{)}^2=12+4s^2=\lambda$．因 $A,B$ 为不同交点，$s\ne 0$，故 $\lambda >12$；反之当 $\lambda >12$ 时 $s=\pm \frac{\sqrt{\lambda -12}}{2}$ 为非零实数，确有两个交点，故 $\lambda \in (12,+\infty )$． （2）$AB$ 斜率为 $-1$，其垂直平分线 $CD$ 斜率为 1 且过 $N(1,3)$，故 $CD$ 为 $y=x+2$．设 $C(1+t,3+t)$，$D(1+t^{\prime },3+t^{\prime })$，则 $t,t^{\prime }$ 是方程 $4t^2+12t+12-\lambda =0$ 的两根．考虑方程 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+\frac{3(x+y-4)-\lambda -12}{2}=0$，它等价于 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{\lambda -3}{2}$；当 $\lambda >12$ 时右端为正，表示一个圆．对点 $A,B$，有 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2s^2=\frac{\lambda -12}{2}$ 且 $x+y-4=0$，故 $A,B$ 在该圆上；对 $C,D$，由 $4t^2+12t+12-\lambda =0$ 得 $2t^2+6t-\frac{\lambda -12}{2}=0$，又 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2t^2$、$x+y-4=2t$，故 $C,D$ 也满足圆方程．因此存在这样的 $\lambda$，事实上对任意 $\lambda >12$，$A,B,C,D$ 四点均在同一个圆上．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中点弦与四点共圆

核心方法：中点公式 + 韦达定理定 $k=-1$；$\lambda >12$；构造圆族方程验证

避坑指南：$AB$ 不能竖直（中点纵坐标须 3）；$s\ne 0$ 给 $\lambda >12$；对任意 $\lambda >12$ 四点共圆——存在性答案为”存在”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线综合

结论推广：中点 $N(1,3)$ + 韦达定理得 $k=-1$；$\lambda =12+4s^2>12$；圆 $(x+\frac{1}{2}{)}^2+(y-\frac{3}{2}{)}^2=\frac{\lambda -3}{2}$

方法推广：中点弦走”设点代椭圆 + 韦达”；四点共圆验证用统一方程代入四点参数——圆族思想

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