2001-新课标卷文-22 解-曲线交点共圆

本题导读

本题考查两曲线的交点，以及交点共圆与圆半径的范围。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 设 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，曲线 $x^2\sin \theta +y^2\cos \theta =1$ 和 $x^2\cos \theta -y^2\sin \theta =1$ 有 $4$ 个不同的交点.

(1) 求 $\theta$ 的取值范围；

(2) 证明这 $4$ 个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立两曲线，解出 $x^2,y^2$。
2. 四交点须 $x^2>0,y^2>0$；两式相加得圆方程。

✅【答案】

Success

(1) $0<\theta <\frac{\pi }{4}$

(2) 半径 $r\in \left(\sqrt[4]{2},\sqrt{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）联立两曲线方程，解得 $\{\begin{array}{l}{x}^2=\sin \theta +\cos \theta \\ y^2=\cos \theta -\sin \theta \end{array}$．要有四个不同交点，须 $x^2>0$ 且 $y^2>0$，即 $\sin \theta +\cos \theta >0$ 且 $\cos \theta -\sin \theta >0$．在 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 内，$\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)>0$ 恒成立；$\cos \theta -\sin \theta >0$ 即 $\theta <\frac{\pi }{4}$．故 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$． （2）两曲线方程相加得 $x^2+y^2=2\cos \theta$，故四个交点共圆，圆心为原点，半径 $r=\sqrt{2\cos \theta }$．当 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ 时，$\cos \theta \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，故 $r=\sqrt{2\cos \theta }\in \left(\sqrt[4]{2},\sqrt{2}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：曲线交点共圆

核心方法：联立得 $x^2=\sin \theta +\cos \theta$、$y^2=\cos \theta -\sin \theta$，四交点须 $x^2>0,y^2>0$，$0<\theta <\frac{\pi }{4}$；两式相加 $x^2+y^2=2\cos \theta$，半径 $r=\sqrt{2\cos \theta }$，$r\in (\sqrt[4]{2},\sqrt{2})$

避坑指南：四交点即 $x^2,y^2$ 均正的充要条件，相加得圆方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材曲线交点与圆

结论推广：一般地，两曲线交点个数由坐标正负判定，相加得圆方程

方法推广：联立消元 + 相加得轨迹

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-22 解-椭圆中点弦与四点共圆
• 2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆
• 2007-新课标Ⅰ文-22 解-四点共圆与圆周角定理