2005-湖北卷文-20 解-截面多面体与点面距离

本题导读

本题考查空间向量法求解截面交点、线段长与点到平面的距离。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 如图所示的多面体是由底面为 $ABCD$ 的长方体被截面 $AE{C}_{1}F$ 所截而得到的，其中 $AB=4$，$BC=2$，$C{C}_1=3$，$BE=1$．

(1)求 $BF$ 的长；

(2)求点 $C$ 到平面 $AE{C}_{1}F$ 的距离．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 为坐标轴建系。
2. 由 $AE{C}_{1}F$ 是平行四边形，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F{C}_1}$ 定 $F$。
3. 两点距离求 $BF$。
4. 平面法向量 + 点到平面距离公式。

✅【答案】

Success

(1) $BF=2\sqrt{6}$； (2) 点 $C$ 到平面 $AE{C}_{1}F$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{33}}{11}$。

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建系，则 $D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,4,0)$，$C(0,4,0)$，$C_1(0,4,3)$．由 $E$ 在 $B{B}_1$ 上且 $BE=1$，得 $E(2,4,1)$．截面四边形 $AE{C}_{1}F$ 的两组对边分别位于两组平行平面内，故 $AE{C}_{1}F$ 是平行四边形．设 $F(0,0,z)$，由 $\overrightarrow{AE}=(0,4,1)$，$\overrightarrow{F{C}_1}=(0,4,3-z)$ 及 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F{C}_1}$，得 $z=2$，即 $F(0,0,2)$． （1）$BF=\sqrt{(2-0{)}^2+(4-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$． （2）由 $\overrightarrow{AE}=(0,4,1)$，$\overrightarrow{AF}=(-2,0,2)$，平面 $AE{C}_{1}F$ 的法向量可取 $\vec{n}=\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AF}=(8,-2,8)\sim (4,-1,4)$，故平面方程为 $4x-y+4z-8=0$．点 $C(0,4,0)$ 到该平面的距离 $d=\frac{|4\cdot 0-4+4\cdot 0-8|}{\sqrt{4^2+(-1{)}^2+4^2}}=\frac{12}{\sqrt{33}}=\frac{4\sqrt{33}}{11}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：截面多面体与点面距离

核心方法：建系定 $F(0,0,2)$，$|BF|=2\sqrt{6}$；平面法向量求距离

避坑指南：截面 $AE{C}_{1}F$ 是平行四边形（$AE\parallel F{C}_1$ 定 $F$）；$d=\frac{12}{\sqrt{33}}=\frac{4\sqrt{33}}{11}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何与空间向量

结论推广：建系 $D$ 原点；$AE=\overrightarrow{F{C}_1}$ 定 $F(0,0,2)$；$|BF|=2\sqrt{6}$；$d=\frac{4\sqrt{33}}{11}$

方法推广：截面问题先证截面形状（对边平行得平行四边形），再按向量法求长度与距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-20 填-球的表面积
• 2018-全国卷I文-10 单-几何体性质
• 2018-全国卷II文-16 填-圆锥性质