2003-广东卷-17 解-空间直角坐标系

本题导读

本题考查空间向量法在立体几何中的应用，以及公垂线的证明与点到平面距离的计算。核心在于建立空间直角坐标系，将线线垂直判定与点面距离公式化。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 已知正四棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$AB=1$，$A{A}_1=2$，$E$ 为 $C{C}_1$ 中点，$F$ 为 $B{D}_1$ 中点.

(1) 证明：$EF$ 为 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 的公垂线；

(2) 求点 $D_1$ 到面 $BDE$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：由于图形为正四棱柱，底面是边长为 1 的正方形，侧棱垂直于底面，适合以 $D$ 为原点， $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

2. 向量法证明公垂线 (1)：写出各关键点的坐标，求出向量 $\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{B{D}_1}$ 与 $\overrightarrow{C{C}_1}$。计算数量积 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}$ 和 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}$，若皆为 0，则线线垂直，命题得证。

3. 向量法求点面距离 (2)：求出平面 $BDE$ 的一个法向量 $\vec{n}$，求出从点 $D_1$ 到平面内某一点（如点 $D$）的向量 $\overrightarrow{D{D}_1}$，利用公式 $d=\frac{|\overrightarrow{D{D}_1}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 求解。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

由题意可知各顶点及中点坐标为： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)$ $D_1(0,0,2),C_1(0,1,2)$

因为 $E$ 是 $C{C}_1$ 的中点，所以 $E(0,1,1)$。 因为 $F$ 是 $B{D}_1$ 的中点，根据中点坐标公式： $F\left(\frac{1+0}{2},\frac{1+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)⟹F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$

(1) 证明：$EF$ 为 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 的公垂线

写出相关向量的坐标表示： $\overrightarrow{EF}=\left(\frac{1}{2}-0,\frac{1}{2}-1,1-1\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ $\overrightarrow{B{D}_1}=(0-1,0-1,2-0)=(-1,-1,2)$ $\overrightarrow{C{C}_1}=(0-0,1-1,2-0)=(0,0,2)$

计算向量的数量积： $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=\frac{1}{2}\times (-1)+\left(-\frac{1}{2}\right)\times (-1)+0\times 2=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$ $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=\frac{1}{2}\times 0+\left(-\frac{1}{2}\right)\times 0+0\times 2=0$

由此可得： $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{B{D}_1}⟹EF\perp B{D}_1$ $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{C{C}_1}⟹EF\perp C{C}_1$

因为 $EF$ 与 $B{D}_1$、 $C{C}_1$ 均相交，所以 $EF$ 为 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 的公垂线。

(2) 求点 $D_1$ 到面 $BDE$ 的距离

设平面 $BDE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 已知： $\overrightarrow{DB}=(1,1,0),\overrightarrow{DE}=(0,1,1)$

根据法向量垂直于平面内的任意向量： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y+z=0\end{array}$

令 $y=-1$，则解得 $x=1,z=1$。 所以平面 $BDE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,-1,1)$。

选择平面内的点 $D(0,0,0)$，则向量 $\overrightarrow{D{D}_1}=(0,0,2)$。 点 $D_1$ 到平面 $BDE$ 的距离 $d$ 为 $\overrightarrow{D{D}_1}$ 在法向量 $\vec{n}$ 方向上投影的绝对值： $d=\frac{|\overrightarrow{D{D}_1}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\times 1+0\times (-1)+2\times 1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立，向量数量积判定垂直，点到平面距离的向量公式 $d=\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。
2. 核心方法：空间向量法（代数化大题解法）。通过规范建系，避开复杂的传统空间几何辅助线寻找过程。
3. 避坑指南：

   • 证明公垂线时，仅证明 $\overrightarrow{EF}$ 垂直于两条直线是不够的，必须确保点 $F$ 和 $E$ 确实落在对应的直线上（本题通过中点及顶点坐标已天然保障相交）。

   • 求法向量解方程组 $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y+z=0\end{array}$ 时，赋值要细心，若令 $y=-1$，则 $x=-y=1$，$z=-y=1$，注意正负号不要弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的立体几何常规综合大题，源于教材中关于“正多棱柱空间度量与垂直关系”的探究课题。
2. 结论推广: 对于底面边长为 $a$，高为 $h$ 的正四棱柱，按相同方式构造点 $E,F$，则平面 $BDE$ 的法向量通式为 $\vec{n}=\left(1,-1,\frac{a}{h_{\text{半}}}\right)$。此类问题均可套用此建系模型求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-23 解-点到平面的距离
• 2005-江西卷文-20 解-长方体动态中的垂直与角
• 2005-湖北卷文-20 解-截面多面体与点面距离