2005-湖北卷文-16 填-购料整数规划

本题导读

本题考查整数线性规划中最小费用的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 某实验室需购某种化工原料 $106$ 千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋 $35$ 千克、价格为 $140$ 元；另一种是每袋 $24$ 千克、价格为 $120$ 元．在满足需要的条件下，最少要花费$\underline{}$元．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设大袋 $x$、小袋 $y$（$x,y$ 非负整数）。
2. 约束 $35x+24y⩾106$，目标 $z=140x+120y$。
3. 由费用上下界枚举整点验证最小值。

✅【答案】

Success

$500$

✍【详细解析】

Abstract

设购买每袋 35 千克和每袋 24 千克的原料分别为 $x,y$ 袋（$x,y$ 为非负整数），需满足 $35x+24y⩾106$，费用为 $140x+120y$ 元．取 $x=1$，$y=3$ 时，原料质量为 $35+3\times 24=107$ 千克，费用 $140+3\times 120=500$ 元．下证费用不能低于 500 元：若费用小于 500 元，则 $x⩽3$；当 $x=0$ 时至多 $y=4$，质量不超过 96 千克；$x=1$ 时至多 $y=2$，质量不超过 83 千克；$x=2$ 时至多 $y=1$，质量不超过 94 千克；$x=3$ 时至多 $y=0$，质量为 105 千克——均不足 106 千克．故最少花费为 500 元．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：购料整数规划

核心方法：枚举 $x=0,1,2,3$ 验证 $500$ 不可再降

避坑指南：$35x+24y⩾106$ 且费用 $<500$ 时逐一排除——整数规划用穷举验证最优

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 不等式与最优化

结论推广：$35x+24y⩾106$，$140x+120y$ 最小值 $500$（$x=1,y=3$）

方法推广：整数规划小规模直接穷举 + 反证排除；验证”不可更优”与”可行”缺一不可

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I理-16 填-线性规划
• 2016-全国卷I文-16 填-线性规划
• 2004-全国卷IV理-16 填-简单的线性规划问题