2005-浙江卷文-19 解-椭圆方程与张角最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与准线，以及到角公式结合均值不等式求张角最值。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 $F_1$，$F_2$ 在 $x$ 轴上，长轴 $A_1{A}_2$ 的长为 $4$，左准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$，$|M{A}_1|:|A_1{F}_1|=2:1$．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若点 $P$ 为 $l$ 上的动点，求 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 由 $2a=4$ 得 $a=2$，比例条件解 $c$（注意 $0<c<2$）。 (2) 设 $P(-4,t)$，$u=|t|$，写 $\tan \theta =\frac{2u}{u^2+15}$，均值不等式求最大。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

(2) $\arctan \frac{1}{\sqrt{15}}$（即 $\arctan \frac{\sqrt{15}}{15}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设半长轴为 $a$，半焦距为 $c$，半短轴为 $b$，则 $2a=4$，$a=2$．左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{4}{c}$，故 $M(-\frac{4}{c},0)$，$A_1(-2,0)$，$F_1(-c,0)$，$0<c<2$．由 $|M{A}_1|:|A_1{F}_1|=2:1$ 得 $\frac{\frac{4}{c}-2}{2-c}=2$，即 $\frac{2(2-c)}{c(2-c)}=2$，约去 $2-c$（$c\ne 2$，否则 $|A_1{F}_1|=0$ 无意义）得 $\frac{2}{c}=2$，故 $c=1$．于是 $b^2=a^2-c^2=3$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$． (2) 由 (1) 知 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，$l:x=-4$．设 $P(-4,t)$，令 $u=|t|$．$\overrightarrow{P{F}_1}=(3,-t)$，$\overrightarrow{P{F}_2}=(5,-t)$，数量积 $t^2+15>0$，故 $\theta =\angle F_{1}P{F}_2$ 为锐角，且 $\tan \theta =\frac{|3\cdot (-t)-(-t)\cdot 5|}{3\times 5+(-t)(-t)}=\frac{2u}{u^2+15}.$ 由基本不等式 $u^2+15\ge 2\sqrt{15}u$，得 $\tan \theta =\frac{2u}{u^2+15}\le \frac{2u}{2\sqrt{15}u}=\frac{1}{\sqrt{15}}$，当且仅当 $u=\sqrt{15}$，即 $P(-4,\pm \sqrt{15})$ 时等号成立．因为 $\theta$ 为锐角，所以 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的最大值为 $\arctan \frac{1}{\sqrt{15}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与张角最值

核心方法：准线与比例定 $c$，到角公式加均值不等式

避坑指南：$|M{A}_1|:|A_1{F}_1|=2:1$ 化成 $\frac{\frac{a^2}{c}-a}{a-c}=2$ 先约去 $(2-c)$ 时注意 $c\ne 2$；第(2)问 $\tan \theta =\frac{2u}{u^2+15}$ 取等条件 $u=\sqrt{15}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线

结论推广：准线与顶点、焦点的比例关系可唯一确定椭圆；动点在准线上时张角用到角公式表示为参数函数

方法推广：张角最值问题通法：写出 $\tan \theta$（或 $\sin \theta$）关于参数的表达式，再用均值不等式或对勾函数求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-19 解-面面垂直
• 2006-全国卷II理-19 解-二面角的平面角求解
• 2020-新课标II文-19 解-圆锥曲线综合