2005-浙江卷文-17 解-独立重复试验与混合概率

本题导读

本题考查相互独立事件同时发生的概率，以及独立重复试验与按球数加权的混合概率计算。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 袋子 $A$ 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球，从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$，从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$．

(1) 从 $A$ 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 $5$ 次． ① 恰好有 $3$ 次摸到红球的概率； ② 第一次、第三次、第五次摸到红球的概率；

(2) 若 $A$、$B$ 两个袋子中的球数之比为 $1:2$，将 $A$、$B$ 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$，求 $p$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

(1)① 独立重复试验公式 ${\mathrm{C}}_5^3\left(\frac{1}{3}{)}^3\right(\frac{2}{3}{)}^2$。 (1)② 指定三次连乘 $(\frac{1}{3}{)}^3$，其余两次概率取 $1$。 (2) 设 $A$ 袋 $n$ 球、$B$ 袋 $2n$ 球，混合后红球概率按球数加权列方程。

✅【答案】

Success

（1）从袋子A中有放回地摸球，所以每次摸到红球的概率均为13，各次摸球相互独立.（i）恰好有3次摸到红球的情况数为C3

✍【详细解析】

Abstract

(1)① 每次摸到红球的概率均为 $\frac{1}{3}$，各次相互独立，恰好 $3$ 次摸到红球的概率为 ${\mathrm{C}}_5^3\left(\frac{1}{3}{)}^3\right(\frac{2}{3}{)}^2=10\times \frac{1}{27}\times \frac{4}{9}=\frac{40}{243}.$ ② 第一次、第三次、第五次摸到红球，第二次、第四次摸到何种球均不受限制（其概率均取 $1$），所求概率为 $\frac{1}{3}\times 1\times \frac{1}{3}\times 1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{27}.$ (2) 设袋子 $A$ 中有 $n$ 个球，则袋子 $B$ 中有 $2n$ 个球，$A$ 中红球数为 $\frac{n}{3}$，$B$ 中红球数为 $2np$．混合后摸出一个红球的概率为 $\frac{\frac{n}{3}+2np}{3n}=\frac{2}{5},$ 约去 $n$ 得 $\frac{1}{9}+\frac{2p}{3}=\frac{2}{5}$，解得 $\frac{2p}{3}=\frac{13}{45}$，即 $p=\frac{13}{30}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与混合概率

核心方法：独立重复用 ${\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，混合概率按球数加权

避坑指南：第(1)(ii)问是”指定三次红”不是”至少三次”，概率为 $(\frac{1}{3}{)}^3$ 不乘 ${\mathrm{C}}_5^3$；第(2)问约去 $n$ 后解出 $p=\frac{13}{30}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 概率

结论推广：有放回摸球各次独立：指定次序用连乘、“恰好 $k$ 次”用二项分布；混球概率按球数加权 $\frac{n_1{p}_1+n_2{p}_2}{n_1+n_2}$

方法推广：区分”指定三次”与”恰好三次”：前者不乘组合数；混合概率问题先设球数再约去

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III理-17 解-相互独立事件的概率乘法公式
• 2020-新课标I文-17 解-概率期望
• 2018-全国卷III理-08 单-二项分布