2005-全国卷III理-17 解-相互独立事件的概率乘法公式

本题导读

本题核心考查相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率应用。通过将文本条件转化为三元二次非线性方程组，实现各单项概率与复合概率的精确求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响. 已知在某一小时内, 甲、乙都需要照顾的概率为 0.05, 甲、丙都需要照顾的概率为 0.1, 乙、丙都需要照顾的概率为 0.125,

(1) 求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;

(2) 计算在这个小时内至少有一台需要照顾的概率.

🔍【思路分析】

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1. 设出各机器需要照顾的概率，根据事件的相互独立性利用概率乘法公式建立三元方程组，通过三式相乘整体开方的方法分别求出单个事件的概率。
2. “至少有一台需要照顾”的对立事件为“三台均不需要照顾”，计算其对立事件的概率后，用 1 减去即得最终结果。

✅【答案】

Success

（1）甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为 $0.2$、$0.25$、$0.5$；

（2）在这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 $0.7$。

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：设甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的事件分别为 $A,B,C$，其对应的概率分别为 $P(A),P(B),P(C)$。 由题意及事件的相互独立性，列出方程组： $\{\begin{array}{ll}P(A)\cdot P(B)=0.05& \text{(1)}\\ P(A)\cdot P(C)=0.1& \text{(2)}\\ P(B)\cdot P(C)=0.125& \text{(3)}\end{array}$

将①、②、③三式左右两边分别相乘得： $[P(A)\cdot P(B)\cdot P(C){]}^2=0.05\times 0.1\times 0.125=0.000625$

由于概率值非负，两边开平方可得： $P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=\sqrt{0.000625}=0.025\text{(4)}$

• 将③代入④，得 $P(A)\times 0.125=0.025⟹P(A)=0.2$；
• 将②代入④，得 $P(B)\times 0.1=0.025⟹P(B)=0.25$；
• 将①代入④，得 $P(C)\times 0.05=0.025⟹P(C)=0.5$。

答：甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为 0.2、0.25、0.5。

（2）解：由（1）可知，各台机器不需要照顾的对立事件概率分别为： $P(\overline{A})=1-0.2=0.8$ $P(\overline{B})=1-0.25=0.75$ $P(\overline{C})=1-0.5=0.5$

在这个小时内，三台机器均不需要照顾的概率为： $P(\text{全不需要})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})\cdot P(\overline{C})=0.8\times 0.75\times 0.5=0.3$

故该小时内至少有一台需要照顾的概率为： $P=1-P(\text{全不需要})=1-0.3=0.7$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件的概率积公式、对立事件的概率公式 $P(A)=1-P(\overline{A})$。
2. 核心方法：代数方程整体乘积法、“正难则反”间接分析法。
3. 避坑指南：第（2）问若直接正向分类讨论（分为恰有一台、恰有两台、三台均需要照顾），极易漏掉某种组合导致计数残缺，使用对立事件法计算更为严密和高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于概率论中关于独立性定义的代数验证问题，是高考大题中考查独立重复试验与古典概型交汇的经典基础题型。
2. 结论推广：若有 $n$ 个相互独立的事件，已知其两两同时发生的复合概率，均可通过轮换对称方程组整体累乘并开 $\frac{n-1}{2}$ 次方的技巧，实现对各独立事件概率的快速分离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

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