2005-浙江卷文-12 填-折叠图形中的异面直线角

本题导读

本题考查平面图形折叠中的不变量，以及异面直线所成角的方向向量计算。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 设 $M$、$N$ 是直角梯形 $ABCD$ 两腰的中点，$DE\perp AB$ 于 $E$（如图）．现将 $△ADE$ 沿 $DE$ 折起，使二面角 $A-DE-B$ 为 $45^{\circ }$，此时点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$，则 $M$、$N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 折前由射影条件与 $45^{\circ }$ 二面角定 $AE$ 与 $EB$ 的倍数关系。
2. 以 $E$ 为原点建系，写出折后各点坐标。
3. 计算 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{EA}$ 判垂直。

✅【答案】

Success

$90\circ$

✍【详细解析】

Abstract

折前图中 $DE\perp AB$，故折起后二面角 $A-DE-B$ 的平面角为 $\angle AEB=45^{\circ }$．设 $EB=n$，$AE=m$．折起后 $A$ 到平面 $BCDE$ 的射影恰为 $B$，故 $AB\perp$ 平面 $BCDE$，从而 $△ABE$ 为直角三角形（$\angle ABE=90^{\circ }$），斜边 $AE=m$． 以 $E$ 为原点、$EB$ 为 $x$ 轴、$ED$ 为 $y$ 轴、竖直方向为 $z$ 轴建系．折起后 $A=(\frac{m\sqrt{2}}{2},0,\frac{m\sqrt{2}}{2})$（二面角 $45^{\circ }$ 给出水平与竖直分量相等），其射影 $(\frac{m\sqrt{2}}{2},0,0)$ 恰为 $B(n,0,0)$，故 $n=\frac{m\sqrt{2}}{2}$，即 $m=\sqrt{2}n$． 由 $AB\parallel DC$、$BC\perp AB$ 设 $D(0,d_0,0)$，$C(n,d_0,0)$（$d_0=DE=BC$）．则 $N$ 为 $BC$ 中点：$N=(n,\frac{d_0}{2},0)$；$M$ 为 $AD$ 中点：$M=(\frac{m\sqrt{2}}{4},\frac{d_0}{2},\frac{m\sqrt{2}}{4})$． 于是 $\overrightarrow{MN}=(n-\frac{m\sqrt{2}}{4},0,-\frac{m\sqrt{2}}{4})$，$\overrightarrow{EA}=(\frac{m\sqrt{2}}{2},0,\frac{m\sqrt{2}}{2})$，数量积 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{EA}=(n-\frac{m\sqrt{2}}{4})\frac{m\sqrt{2}}{2}-\frac{m\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{m\sqrt{2}}{2}=\frac{m\sqrt{2}n}{2}-\frac{m^2}{2}.$ 代入 $m=\sqrt{2}n$ 得 $n^2-n^2=0$，故 $MN\perp AE$，所成角为 $90^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠图形中的异面直线角

核心方法：折叠前后不变量是 $DE$ 与各段长

避坑指南：先在平面图中算 $AE$ 与 $AB$ 的关系，折起后用 $45^{\circ }$ 二面角与”射影恰为 $B$“定 $△ABE$ 形状，再用中位线平移 $MN$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何中的折叠问题

结论推广：折叠不变量：折痕两侧的线段长与夹角；折后角与折前角通过二面角联系

方法推广：折叠问题先画”折前平面图 + 折后立体图”双图对照，标出所有不变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I理-12 单-球
• 2009-大纲卷II理-12 单-立体几何
• 2005-全国卷I理-12 单-异面直线的定义与判定