本题导读
本题将组合计数与空间中直线的未知关系巧妙结合，核心考查三棱柱中异面直线对数的统计。利用“任意四个不共面的顶点构成一个三棱锥，且每个三棱锥恰好贡献3对异面直线”的几何模型，可将繁琐的分类清点转化为简洁的组合计算。
📌【题干】
Question
（2005年全国卷I(理)） 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有()
A. 18 对 B. 24 对 C. 30 对 D. 36 对
🔍【思路分析】
破题导航
- 明确由 4 个不共面的点可以确定 6 条直线，这 6 条直线正好构成一个三棱锥的 6 条棱，其中包含 3 对异面直线。
- 任意一对异面直线由 4 个互不共面的顶点唯一确定，因此求异面直线的对数等价于求不共面的四点组的个数再乘以 3。
- 利用总的四点组合数减去共面的四点组合数，得到不共面的四点组总数，最后计算得出结果。
✅【答案】
Success
D
✍【详细解析】
Abstract
三棱柱共有 6 个顶点。
从 6 个顶点中任取 4 个顶点的组合数为：
在这 15 种取法中，满足 4 个点共面的情况只有三棱柱的 3 个侧面（每个侧面各有 4 个顶点且共面）。 因此，不共面的四点组（即能够构成三棱锥的四个顶点组合）共有：
由于每一个三棱锥的 6 条棱中，恰好包含 3 对异面直线（即 3 对相对的棱），且任意一对异面直线唯一确定一个三棱锥。 所以，该三棱柱中异面直线的对数为：
故选 D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：异面直线的计数、空间中四点共面与不共面的判定。
- 核心方法：四点组模型法。将异面直线的问题转化为寻找“不共面四点组合”的问题。
- 避坑指南：直接分类讨论（如：棱与棱异面、棱与侧面对角线异面、侧面对角线与侧面对角线异面）极易发生多数或漏数的现象，且由于侧面可能为正方形或矩形，容易把平行与相交的情况混淆，因此强烈推荐使用间接法计数。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题是立体几何传统题型“异面直线判定”与组合数学中“图论/模型计数”的经典融合，通常作为选择题的压轴题，用以考查考生的空间想象力与严谨的数学推导能力。
- 结论推广：对于正方体（8个顶点），任取4个顶点的组合数为 。其中共面的四点组有 6 个表面和 6 个对截面（共 12 个）。因此不共面的四点组有 个，其含有的异面直线对数推广为 对。
🔗【关联脉络】
Multi column