2005-浙江卷文-11 填-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求法，以及反函数定义域的限定。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 函数 $y=\frac{x}{x+2}$（$x\in \mathrm{R}$，且 $x\ne -2$）的反函数是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解 $x$。
2. 交换 $x,y$。
3. 限定定义域（原函数值域）。

✅【答案】

Success

y=2x1−x（x∈R，且x≠1）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{x}{x+2}$ 得 $y(x+2)=x$，即 $x(1-y)=2y$，故 $x=\frac{2y}{1-y}$（$y\ne 1$）．交换 $x,y$ 得反函数 $y=\frac{2x}{1-x}$（$x\in \mathrm{R}$，且 $x\ne 1$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：反解 $x$ 后交换变量并写定义域

避坑指南：$y=\frac{x}{x+2}$ 反解得 $x=\frac{2y}{1-y}$，定义域由原函数值域限制：$y\ne 1$；漏 $x\ne 1$ 是常见扣分点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 反函数（旧教材）

结论推广：$y=\frac{x}{x+2}$ 的反函数为 $y=\frac{2x}{1-x}(x\ne 1)$，定义域=原函数值域

方法推广：求反函数三步：反解、交换、限定义域；分式型值域可用判别式或分离常数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数