2005-江西卷文-20 解-长方体动态中的垂直与角

本题导读

本题考查长方体中动点问题的垂直证明、点到平面的距离与二面角。核心在于建立空间直角坐标系并设参坐标化求解。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AD=A{A}_1=1$，$AB=2$，点 $E$ 在棱 $AB$ 上移动．

(1) 证明：$D_{1}E\perp A_{1}D$；

(2) 当 $E$ 为 $AB$ 的中点时，求点 $E$ 到平面 $AC{D}_1$ 的距离；

(3) $AE$ 等于何值时，二面角 $D_1-EC-D$ 的大小为 $\frac{\pi }{4}$． （图见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系，设 $AE=t(0⩽t⩽2)$，写出各点坐标。
2. (1) 用数量积为零证垂直。
3. (2)(3) 用法向量求距离与二面角。

✅【答案】

Success

(1) 见解析； (2) $\frac{1}{3}$； (3) $AE=2-\sqrt{3}$．

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，使 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$D{D}_1$ 分别为 $x$、$y$、$z$ 轴正方向．设 $AE=t$，则 $0⩽t⩽2$，各点坐标为 $D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$C(0,2,0)$，$D_1(0,0,1)$，$A_1(1,0,1)$，$E(1,t,0)$． (1) $\overrightarrow{D_{1}E}=(1,t,-1)$，$\overrightarrow{A_{1}D}=(-1,0,-1)$，所以 $\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=-1+1=0$，故 $D_{1}E\perp A_{1}D$． (2) 当 $E$ 为 $AB$ 中点时，$E(1,1,0)$．平面 $AC{D}_1$ 的法向量 $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{A{D}_1}=(2,1,2)$，其方程为 $2x+y+2z-2=0$．点 $E$ 到该平面的距离为 $\frac{|2\times 1+1+2\times 0-2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{3}$． (3) 平面 $D_{1}EC$ 的法向量 $\overrightarrow{D_{1}E}\times \overrightarrow{D_{1}C}=(2-t,1,2)$，而平面 $DEC$ 即底面 $ABCD$，可取法向量 $(0,0,1)$．设二面角 $D_1-EC-D$ 为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{(2-t{)}^2+1+4}}$．当 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 时，$\frac{2}{\sqrt{(2-t{)}^2+5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $(2-t{)}^2=3$．由于 $0⩽t⩽2$，$2-t⩾0$，从而 $t=2-\sqrt{3}$，即 $AE=2-\sqrt{3}$． 注：原卷(1)题面印”点 $E$ 在棱 $AD$ 上移动”系排印错误，(2) 问”$E$ 为 $AB$ 的中点”与 (1) 对任意 $t$ 成立都要求 $E$ 在 $AB$ 上，按答案册录 $AB$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体动态中的垂直与角

核心方法：建系设 $E(1,t,0)$，垂直用数量积、角与距离用法向量

避坑指南：原卷”点 $E$ 在棱 $AD$ 上移动”系排印错误——(2) 问”$E$ 为 $AB$ 的中点”与 (1) 对任意 $t$ 成立都要求 $E$ 在 $AB$ 上；(3) 中 $2-t⩾0$ 决定舍 $2+\sqrt{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何

结论推广：长方体内”动点在棱上”的垂直证明适合建系——含参数数量积恒为零即任意位置成立

方法推广：动态立体几何三连（垂直/距离/角度）统一建系：设参数坐标，逐问代参数求解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-20 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2018-全国卷II理-20 解-线面垂直