2005-江西卷文-15 填-三棱锥的线面角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角，以及等距点在三棱锥中的定位。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=PC=BC$，且 $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$，则 $PA$ 与底面 $ABC$ 所成的角为$\underline{}$． （图见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $PA=PB=PC$ 说明 $P$ 在底面外心正上方。
2. $\angle BAC=90^{\circ }$ 使外心为斜边 $BC$ 中点。
3. 由 $\sin \phi =\frac{h}{PA}$ 求线面角。

✅【答案】

Success

$\pi 3$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $PA=PB=PC$，所以顶点 $P$ 在底面 $ABC$ 的投影 $O$ 为 $△ABC$ 的外心．又 $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$，外心在斜边 $BC$ 的中点，即 $O$ 为 $BC$ 的中点．设 $BC=a$，则 $PB=PC=a$，$OB=\frac{a}{2}$．在直角 $△POB$ 中，$PO=\sqrt{P{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$．$PA$ 与底面所成的角为 $\angle PAO$，且 $\sin \angle PAO=\frac{PO}{PA}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\angle PAO=\frac{\pi }{3}$，即 $PA$ 与底面 $ABC$ 所成的角为 $\frac{\pi }{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的线面角

核心方法：定底面外心（$BC$ 中点），$h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$

避坑指南：$\angle BAC=90^{\circ }$ 说明外心在斜边 $BC$ 上；$\sin \phi =\frac{h}{PA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，别用 $\cos$ 算成 $\frac{\pi }{6}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 直线与平面所成的角

结论推广：顶点在底面外且到三顶点等距 $\Rightarrow$ 在过底面外心的垂线上；$\sin \phi =\frac{h}{l}$

方法推广：等距点问题先定外心再算高，线面角归结为”$h$ 与斜线长”的直角三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-15 填-线面位置
• 2018-全国卷III理-19 解-面面垂直
• 2018-全国卷II理-20 解-线面垂直