2005-江西卷文-14 填-比值型线性规划

本题导读

本题考查可行域内 $\frac{y}{x}$ 型目标函数的最值，以及严格不等号下最值是否存在。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 设实数 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y-2⩽0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3⩽0,\end{array}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由前两式消 $x$ 得 $y>\frac{2}{3}$。
2. 结合 $2y-3⩽0$ 得 $\frac{2}{3}<y⩽\frac{3}{2}$。
3. $\frac{y}{x}<\frac{y}{4-2y}⩽\frac{3}{2}$，验证上确界取不到。

✅【答案】

Success

不存在

✍【详细解析】

Abstract

由 $x-y-2⩽0$ 得 $x⩽y+2$，由 $x+2y-4>0$ 得 $x>4-2y$．要使这样的 $x$ 存在，须 $4-2y<y+2$，即 $y>\frac{2}{3}$．再结合 $2y-3⩽0$ 得 $\frac{2}{3}<y⩽\frac{3}{2}$．此时 $4-2y>0$，故 $\frac{y}{x}<\frac{y}{4-2y}⩽\frac{3}{2}$．但取任意 $0<\epsilon ⩽\frac{5}{2}$，令 $y=\frac{3}{2}$，$x=1+\epsilon$，三式均成立，且 $\frac{y}{x}=\frac{3}{2(1+\epsilon )}\to \frac{3}{2}(\epsilon \to 0^{+})$．所以 $\frac{y}{x}$ 的上确界为 $\frac{3}{2}$，但上确界取不到，故最大值不存在． 注：部分网络版参考答案印 $\frac{3}{2}$，系忽略严格不等号、误将上确界当作最大值所致，按答案册录”不存在”．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：比值型线性规划

核心方法：由 $x>4-2y$ 且 $x⩽y+2$ 得 $y>\frac{2}{3}$，再压 $y$ 到上界

避坑指南：约束里 $x+2y-4>0$ 是严格不等号——$\frac{y}{x}$ 只能逼近 $\frac{3}{2}$ 而取不到，“最大值不存在”；忽略严格性就会填 $\frac{3}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 二元一次不等式组

结论推广：目标函数 $\frac{y}{x}$ 是可行域内点与原点连线的斜率；开边界上最值可能取不到

方法推广：线性规划最值问题先判断可行域是否含边界——严格不等号常使”最值”退化为”上确界”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-14 填-线性规划
• 2017-全国卷I文-14 填-导数的几何意义
• 2016-全国卷II文-14 填-线性规划