2005-江西卷文-06 单-向量夹角的数量积求法

本题导读

本题考查向量夹角的求法，以及利用倍数关系化简数量积条件。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,-4)$，$|\vec{c}|=\sqrt{5}$，若 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\frac{5}{2}$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $120^{\circ }$　　　　　　D. $150^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{b}=-2\vec{a}$，故 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{a}$，条件即 $-\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{5}{2}$。
2. $\vec{a}\cdot \vec{c}=-\frac{5}{2}$，代入夹角公式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{b}=-2\vec{a}$ 得 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{a}$，故 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=-\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{5}{2}$，即 $\vec{a}\cdot \vec{c}=-\frac{5}{2}$．又 $|\vec{a}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，$|\vec{c}|=\sqrt{5}$，所以 $\cos \theta =\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$，而夹角 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，故 $\theta =120^{\circ }$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量夹角的数量积求法、倍数关系的化简。

核心方法：先由 $\vec{b}=-2\vec{a}$ 把 $\vec{a}+\vec{b}$ 化成 $-\vec{a}$，再由已知数量积反解 $\vec{a}\cdot \vec{c}$，最后套余弦公式。

避坑指南：$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{a}$ 这一步差一个负号，余弦就从 $-\frac{1}{2}$ 变成 $\frac{1}{2}$，答案从 $120^{\circ }$ 滑到 $60^{\circ }$——选项里两个都有。夹角范围 $\left[0,\pi \right]$，$\cos =-\frac{1}{2}$ 只对应 $120^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 平面向量的数量积

结论推广：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}$；先化简 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{a}$ 再代入

方法推广：向量夹角问题先做代数化简（倍数关系）再求数量积，避免带着长向量硬算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-06 单-向量数量积
• 2009-大纲Ⅱ文-06 单-向量模长
• 2018-全国卷I理-06 单-向量基本定理