2005-山东卷文-21 解-数列递推与导数求和

本题导读

本题考查由和式递推构造等比数列，以及利用导数求”项乘序号”型和式的值。核心在于作差化项间递推并识别等比结构。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=5$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{n+1}=2S_n+n+5$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）．

(1) 证明数列 $\{a_n+1\}$ 是等比数列；

(2) 令 $f(x)=a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，求函数 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime }(1)$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作差 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，用 $S_n=2S_{n-1}+n+4$ 化为 $a_{n+1}=2a_n+1$。
2. 即 $a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，首项 $a_1+1=6$。
3. (2) $a_n=3\cdot 2^n-1$，$f^{\prime }(1)=\sum k{a}_k$ 拆两部分求和。

✅【答案】

Success

所以f′(1) = 3(n−1)2n+1 + 6 −n(n+ 1)2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由已知式，$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=S_n+n+5$．当 $n=1$ 时，$S_2=2S_1+1+5=16$，所以 $a_2=11=2a_1+1$．对 $n⩾2$，由 $S_n=2S_{n-1}+(n-1)+5=2S_{n-1}+n+4$ 得 $a_{n+1}=S_n+n+5=2S_{n-1}+n+4+n+5=2(S_n-n-4)+n+4+n+5=2(S_n-n-4)+2n+9$．而 $2a_n+1=2(S_n-S_{n-1})+1=2(2S_{n-1}+n+4-S_{n-1})+1=2S_{n-1}+2n+9$，比较得 $a_{n+1}=2a_n+1$，即 $a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，且 $a_1+1=6$，所以 $\{a_n+1\}$ 是首项为 6、公比为 2 的等比数列． (2) 由 (1)，$a_n+1=6\cdot 2^{n-1}$，即 $a_n=3\cdot 2^n-1$．于是 $f^{\prime }(1)=\sum _{k=1}^{n}k{a}_k=\sum _{k=1}^{n}k\left(3\cdot 2^k-1\right)=3\sum _{k=1}^{n}k{2}^k-\sum _{k=1}^{n}k$．又 $\sum _{k=1}^{n}k{2}^k=(n-1)2^{n+1}+2$，$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$，所以 $f^{\prime }(1)=3(n-1)2^{n+1}+6-\frac{n(n+1)}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推与导数求和

核心方法：作差得 $a_{n+1}+1=2(a_n+1)$ 构造等比，再错位求 $f^{\prime }(1)$

避坑指南：递推式对 $n⩾2$ 才可作差，$a_2$ 用 $n=1$ 单独算；$f^{\prime }(1)=\sum k{a}_k$ 中 $a_k=3\cdot 2^k-1$ 要拆成两部分求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 数列求和

结论推广：$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，$a_n+1=6\cdot 2^{n-1}$，$a_n=3\cdot 2^n-1$；${\sum }_{k=1}^{n}k{2}^k=(n-1)2^{n+1}+2$

方法推广：和式递推 $S_{n+1}=2S_n+n+5$ 先作差化项间递推再构造等比；“项乘序号”求和后求导即错位相减的导数版本

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• [[2001-大纲理-21 解-等比数列的前$n$项和公式]]
• 1997-全国卷理-21 解-等比数列的极限