2005-山东卷文-10 单-对立事件概率

本题导读

本题考查古典概型的概率计算，以及对立事件思想的运用。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，每人 1 张，至少有 1 人中奖的概率是()

A. $\frac{3}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{12}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{11}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对立事件：5 人都没中奖。
2. $P=\frac{{\mathrm{C}}_7^5}{{\mathrm{C}}_{10}^5}=\frac{1}{12}$。
3. $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

用对立事件计算．五个人都没有中奖的概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_7^5}{{\mathrm{C}}_{10}^5}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}$．所以至少有一人中奖的概率为 $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对立事件概率

核心方法：对立事件：全不中奖 $\frac{{\mathrm{C}}_7^5}{{\mathrm{C}}_{10}^5}=\frac{1}{12}$

避坑指南：“至少一人中奖”用 $1-P$ 简化；从 10 张取 5 张是组合不是排列

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 概率

结论推广：$P(\text{全不中})=\frac{{\mathrm{C}}_7^5}{{\mathrm{C}}_{10}^5}=\frac{1}{12}$，$P(\text{至少一中})=\frac{11}{12}$

方法推广：“至少”型概率首选对立事件；古典概型分母是”从全部取”的组合数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-04 单-概率应用
• 2018-全国卷II文-05 单-古典概型
• 2017-全国卷II文-09 单-逻辑推理