2005-北京春文-19 解-分式函数最值与应用

本题导读

本题考查函数的应用、基本不等式与分式不等式。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 $y$（千辆/小时）与汽车的平均速度 $v$（千米/小时）之间的函数关系为：$y=\frac{920v}{v^2+3v+1600}$（$v>0$）．

(1) 在该时段内，当汽车的平均速度 $v$ 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 $0.1$ 千辆/小时）

(2) 若要求在该时段内车流量超过 $10$ 千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\frac{920}{v+3+\frac{1600}{v}}$，$v+\frac{1600}{v}\ge 2\sqrt{1600}=80$，分母 $\ge 83v$。
2. $v=40$ 取等，$y\le \frac{920}{83}\approx 11.1$。
3. 超过 $10$：$920v>10(v^2+3v+1600)$，即 $(v-25)(v-64)<0$，$25<v<64$。

✅【答案】

Success

（1）当v>0时，v2+3v+1600>0，且由基本不等式v+1600v≥2√1600=80，得

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $v>0$ 时，$v^2+3v+1600>0$，且由基本不等式 $v+\frac{1600}{v}\ge 2\sqrt{1600}=80$，得 $v^2+3v+1600=v\left(v+3+\frac{1600}{v}\right)\ge 83v$． 因此 $y=\frac{920v}{v^2+3v+1600}\le \frac{920}{83}$，当且仅当 $v=\frac{1600}{v}$，即 $v=40$ 时取等号．故平均速度为 $40$ 千米/小时时车流量最大，最大车流量为 $\frac{920}{83}\approx 11.1$ 千辆/小时． (2) 因为分母为正，车流量超过 $10$ 千辆/小时等价于 $\frac{920v}{v^2+3v+1600}>10$，即 $920v>10v^2+30v+16000$，整理得 $v^2-89v+1600<0$．又 $v^2-89v+1600=(v-25)(v-64)$，所以 $25<v<64$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数最值与应用

核心方法：分子常数化除，基本不等式取等

避坑指南：$y=\frac{920}{v+3+\frac{1600}{v}}\le \frac{920}{83}$，$v=40$ 时最大约 $11.1$；超过 $10$ 化为 $(v-25)(v-64)<0$ 得 $25<v<64$；分母最小化别忘 $v>0$ 前提

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数应用与基本不等式（人教 A 版必修五）

结论推广：$\frac{k}{v+\frac{a}{v}}\le \frac{k}{2\sqrt{a}}$，$v=\sqrt{a}$ 时取等

方法推广：分式函数最值：分子常数化后对分母用基本不等式，注意定义域与取等条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-19 解-频率分布直方图
• 2018-全国卷III理-19 解-面面垂直