2005-北京春文-17 解-等差等比通项与子列和

本题导读

本题考查等比数列、等差数列及其子列求和。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，$a_1=2$，$a_4=54$；$\{b_n\}$ 是等差数列，$b_1=2$，$b_1+b_2+b_3+b_4=a_1+a_2+a_3$．

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式；

(2) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(3) 设 $U_n=b_1+b_4+b_7+\cdots +b_{3n-2}$，其中 $n=1,2,\cdots$，求 $U_{10}$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_4=a_1{q}^3$：$2q^3=54$ 得 $q=3$，$a_n=2\cdot 3^{n-1}$，$S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1$。
2. $a_1+a_2+a_3=26$；$b_1+\cdots +b_4=8+6d=26$ 得 $d=3$，$b_n=3n-1$。
3. $b_1,b_4,\cdots$ 是首项 $2$、公差 $9$ 的等差数列，第 $10$ 项 $b_{28}=83$，$U_{10}=\frac{10(2+83)}{2}=425$。

✅【答案】

Success

所以bn= 2+3(n−1) = 3n−1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则 $a_4=a_1{q}^3$，所以 $2q^3=54$，得 $q=3$．因此 $a_n=2\cdot 3^{n-1}$，前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1$． (2) 由第 (1) 问得 $a_1+a_2+a_3=2+6+18=26$．设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，则 $b_1+b_2+b_3+b_4=\frac{4(2+2+3d)}{2}=8+6d$．由题意 $8+6d=26$，得 $d=3$，所以 $b_n=2+3(n-1)=3n-1$． (3) $b_1,b_4,b_7,\cdots ,b_{3n-2}$ 是首项为 $b_1=2$、公差为 $3d=9$ 的等差数列．其第十项为 $b_{28}=3\times 28-1=83$，故 $U_{10}=\frac{10(2+83)}{2}=425$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比通项与子列和

核心方法：等比定公比，等差中项条件和定公差

避坑指南：$q^3=27$ 得 $q=3$，$a_n=2\cdot 3^{n-1}$，$S_n=3^n-1$；$b_1+\cdots +b_4=8+6d=26$ 得 $d=3$，$b_n=3n-1$；$b_{3n-2}$ 下标别代错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与等比数列（人教 A 版选择性必修二）

结论推广：等比 $a_n=a_1{q}^{n-1}$、$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$；等差子列公差为 $kd$

方法推广：两数列交织题分别设基本量（$q$ 与 $d$），条件逐个翻译成方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-16 解-递推数列等比条件
• 2010-北京文-16 解-等差等比求和