2005-北京春文-04 单-正弦型函数周期与最值

本题导读

本题考查正弦型函数的周期与最值。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 如果函数 $f(x)=\sin (\pi x+\theta )$（$0<\theta <2\pi$）的最小正周期是 $T$，且当 $x=2$ 时取得最大值，那么()

A. $T=2$，$\theta =\frac{\pi }{2}$　　　　B. $T=1$，$\theta =\pi$　　　　C. $T=2$，$\theta =\pi$　　　　D. $T=1$，$\theta =\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$，排除 B、D。
2. $x=2$ 取最大值：$\sin (2\pi +\theta )=1$，即 $\sin \theta =1$。
3. $0<\theta <2\pi$ 内 $\theta =\frac{\pi }{2}$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $\sin (\pi x+\theta )$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$．当 $x=2$ 时函数取得最大值，因此 $\sin (2\pi +\theta )=1$，从而 $\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$．结合 $0<\theta <2\pi$，得 $\theta =\frac{\pi }{2}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数周期与最值

核心方法：周期公式定 T，最值点定相位

避坑指南：$T=\frac{2\pi }{\pi }=2$；$x=2$ 取最大值即 $\sin (2\pi +\theta )=1$，$\theta =\frac{\pi }{2}$；周期别把 $\pi$ 当 $2\pi$ 算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数的周期与最值（人教 A 版必修二）

结论推广：$y=A\sin (\omega x+\theta )$ 周期 $\frac{2\pi }{|\omega |}$；给最值点即给相位约束

方法推广：“在某点取最值”转化为 $\sin (\cdot )=\pm 1$，再结合范围定相位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-10 单-余弦对称中心
• 2009-大纲Ⅱ文-04 单-同角三角函数