2005-北京卷文-18 解-独立重复试验概率

本题导读

本题考查独立重复试验与互斥事件的概率。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 甲、乙两人各进行 $3$ 次射击，甲每次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$，乙每次击中目标的概率为 $\frac{2}{3}$．

(1) 甲恰好击中目标 $2$ 次的概率；

(2) 乙至少击中目标 $2$ 次的概率；

(3) 乙恰好比甲多击中目标 $2$ 次的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 独立重复试验：${\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}$。
2. (2) “至少 $2$ 次”=恰 $2$ 次 $+$ 恰 $3$ 次：$\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$。
3. (3) 多 $2$ 次分两类 $(X,Y)=(0,2),(1,3)$，独立事件乘法组合，再互斥相加。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{3}{8}$

(2) $\frac{20}{27}$

(3) $\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 甲恰好击中 $2$ 次的概率为 ${\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}$． (2) 乙恰好击中 $2$ 次的概率为 ${\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，乙击中 $3$ 次的概率为 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$，所以乙至少击中 $2$ 次的概率为 $\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$． (3) 设甲、乙击中目标的次数分别为 $X$，$Y$．条件 $Y-X=2$ 只有两种情况：$X=0$，$Y=2$ 或 $X=1$，$Y=3$．因此所求概率为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\frac{1}{3}+{\mathrm{C}}_3^1\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}=\frac{1}{6}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验概率

核心方法：独立重复试验二项概型，互斥事件分类相加

避坑指南：甲恰中 $2$ 次 ${\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$，乙至少 $2$ 次 $\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$，乙恰多中 $2$ 次 $(0,2),(1,3)$ 两类共 $\frac{1}{6}$；“至少""恰好”的计数别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验与互斥事件（人教 A 版选择性必修三）

结论推广：$n$ 次独立重复试验恰 $k$ 次 ${\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；“至少""多 $k$ 次”按互斥分类相加

方法推广：两人独立射击的组合事件用乘法算各项，分类列举防漏

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-18 解-招聘方案概率
• 2007-北京文-18 解-古典概型计数