2005-北京卷文-07 单-正四面体垂直关系

本题导读

本题考查空间中的线面关系与面面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 在正四面体 $P-ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$，$CA$ 的中点，下面四个结论中不成立的是()

A. $BC\parallel$ 平面 $PDF$　　　　　　　　　　　　　B. $DF\perp$ 平面 $PAE$

C. 平面 $PDF\perp$ 平面 $ABC$　　　　　　　　　　D. 平面 $PAE\perp$ 平面 $ABC$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $DF\parallel BC$（中位线），$BC$ 不在平面 $PDF$ 内，故 $BC\parallel$ 平面 $PDF$，A 成立。
2. 正四面体高 $PO\perp$ 平面 $ABC$，$O$ 在 $AE$ 上，$AE\perp BC$，故 $DF\perp AE$，$DF\perp PO$，得 $DF\perp$ 平面 $PAE$，B 成立，进而 D 成立。
3. C 不成立：可建系验证平面 $PDF$ 的法向量与底面法向量不垂直。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

在正三角形 $ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$，$CA$ 的中点，所以 $DF\parallel BC$．又 $P$ 不在平面 $ABC$ 内，而平面 $PDF$ 与平面 $ABC$ 的交线为 $DF$，故 $BC\parallel$ 平面 $PDF$，结论 A 成立． 设 $O$ 是正三角形 $ABC$ 的中心．因为 $AE\perp BC$，且正四面体的高 $PO\perp$ 平面 $ABC$，又 $O\in AE$，所以 $PO$ 在平面 $PAE$ 内．由 $DF\parallel BC$ 可得 $DF\perp AE$，同时 $DF\perp PO$，故 $DF\perp$ 平面 $PAE$，结论 B 成立．又因为 $PO$ 在平面 $PAE$ 内且 $PO\perp$ 平面 $ABC$，所以平面 $PAE\perp$ 平面 $ABC$，结论 D 成立． 验证结论 C 不成立：取棱长为 $2$，建系 $B=(-1,0,0)$，$C=(1,0,0)$，$A=(0,\sqrt{3},0)$，$P=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$，则 $D=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$F=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$\overrightarrow{DF}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{DP}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$．平面 $PDF$ 的一个法向量 $\overrightarrow{DF}\times \overrightarrow{DP}=\left(0,-\frac{2\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$，它与平面 $ABC$ 的法向量 $(0,0,1)$ 的内积不为 $0$，故两平面不垂直． 因此不成立的是 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四面体垂直关系

核心方法：中位线平行与线面垂直逐级判定

避坑指南：$DF\parallel BC$ 得 $BC\parallel$ 平面 $PDF$；$DF\perp AE$ 且 $DF\perp PO$ 得 $DF\perp$ 平面 $PAE$，进而面 $PAE\perp$ 面 $ABC$；平面 $PDF$ 不垂直底面，别把线线垂直误推面面垂直

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何线面、面面垂直判定（人教 A 版必修二）

结论推广：正四面体中中位线与对边平行、对棱垂直等性质大量成立，但过两中点的截面未必都垂直底面

方法推广：线线、线面、面面逐级判定配合反例排除，是位置关系选择题的标准路径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-北京文-17 解-面面垂直与线面垂直
• 2007-北京文-07 单-面面平行充分条件