2005-北京卷文-04 单-向量垂直求夹角

本题导读

本题考查平面向量的数量积与向量的夹角。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 若 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$，且 $\vec{c}\perp \vec{a}$，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $120^{\circ }$　　　　　　D. $150^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{c}\perp \vec{a}$ 即 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=0$，得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}{|}^2=-1$。
2. $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-\frac{1}{2}$。
3. $\theta \in [0,\pi ]$，故 $\theta =120^{\circ }$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{c}\perp \vec{a}$ 得 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=0$，从而 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}{|}^2=-1$． 若 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-\frac{1}{2}$，所以 $\theta =120^{\circ }$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直求夹角

核心方法：垂直条件转数量积，夹角公式收口

避坑指南：$\vec{c}\perp \vec{a}$ 得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$，$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ 得 $\theta =120^{\circ }$；向量夹角在 $[0,\pi ]$ 内，负值对应钝角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修四向量数量积

结论推广：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$；夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，$\theta \in [0,\pi ]$

方法推广：垂直条件把几何关系代数化，配合夹角公式可求一切向量夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2010-北京文-04 单-向量数量积函数
• 2014-北京卷文-03 单-向量坐标运算