2004-天津文-14 填-向量垂直定参数

本题导读

本题考查向量的垂直，以及参数的求解。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(2,-3)$，若 $k\vec{a}-2\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则实数 $k$ 等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $k\vec{a}-2\vec{b}=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6)$。
2. 与 $\vec{a}=(1,1)$ 垂直，数量积为 $0$。
3. $(k-4)+(k+6)=0$，$k=-1$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

$k\vec{a}-2\vec{b}=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6)$.由 $(k\vec{a}-2\vec{b})\perp \vec{a}$，得 $(k-4,k+6)\cdot (1,1)=0$，即 $(k-4)+(k+6)=0$，解得 $k=-1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直定参数
2. 核心方法：$k\vec{a}-2\vec{b}=(k-4,k+6)$；与 $\vec{a}=(1,1)$ 垂直，$(k-4)+(k+6)=0$，$k=-1$
3. 避坑指南：$k\vec{a}-2\vec{b}=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6)$；垂直 $⟺$ 数量积 $0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量的垂直，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}$；先算 $k\vec{a}-2\vec{b}$ 的分量，再令与 $\vec{a}$ 的数量积为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-04 单-向量垂直求夹角
• 2007-北京文-11 填-向量垂直定参
• 2006-湖南文-02 单-向量平行与垂直定参