2005-北京卷文-03 单-直线垂直充要条件

本题导读

本题考查充要条件与两条直线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） "$m=\frac{1}{2}$"是”直线 $(m+2)x+3my+1=0$ 与直线 $(m-2)x+(m+2)y-3=0$ 相互垂直”的()

A. 充分必要条件　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两直线垂直 $⟺(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0$，即 $(m+2)(4m-2)=0$。
2. 解得 $m=\frac{1}{2}$ 或 $m=-2$（$m=-2$ 时两线分别为 $y=\frac{1}{6}$ 与 $x=-\frac{3}{4}$，垂直）。
3. "$m=\frac{1}{2}$"成立可推垂直，垂直不能只推 $m=\frac{1}{2}$，故为充分不必要。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

两直线相互垂直的条件为 $(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0$，即 $2(2m-1)(m+2)=0$，所以 $m=\frac{1}{2}$ 或 $m=-2$． 当 $m=\frac{1}{2}$ 时两直线确实垂直；当 $m=-2$ 时两直线分别为 $y=\frac{1}{6}$ 和 $x=-\frac{3}{4}$，也相互垂直． 因此"$m=\frac{1}{2}$"是充分而不必要条件，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线垂直充要条件

核心方法：判别式法验两直线垂直

避坑指南：$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ 得 $m=\frac{1}{2}$ 或 $m=-2$，两值都使两线垂直；只验 $m=\frac{1}{2}$ 会误判充要性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材两直线垂直充要条件（人教 A 版必修二）

结论推广：$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ 对含斜率不存在的直线也成立，比斜率乘积 $-1$ 更完备

方法推广：判别式法绕开斜率不存在情形，是直线位置关系的通用判别法

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-05 单-充要条件
• 2006-北京文-03 单-数量积与充要条件