2005-全国卷III理-12 单-进位计数制

本题导读

本题核心考查不同进位计数制之间的数字转换。通过建立十六进制与十进制的符号对应规则，考查基本的乘法运算与数位换算能力。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0 ~ 9 和字母 A ~ F 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

十六进制	0	1	2	3	4	5	6	7
十进制	0	1	2	3	4	5	6	7
十六进制	8	9	A	B	C	D	E	F
十进制	8	9	10	11	12	13	14	15

例如，用十六进制表示：$E+D=1B$，则 $A\times B=$()

A. $6E$　　　　　　　B. $72$　　　　　　　C. $5F$　　　　　　　D. $B0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 查表获取十六进制符号 $A$ 和 $B$ 分别对应的十进制数值。
2. 在十进制下计算两数的乘积。
3. 利用“除 16 取余”的方法将十进制乘积结果还原为十六进制形式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：根据图表对应的映射关系，十六进制符号 $A$ 与 $B$ 对应的十进制数分别为： $A=10,B=11$

在十进制中计算其乘积值： $10\times 11=110$

将十进制数 110 转换为十六进制数，进行除以 16 进位分解： $110÷16=6\dots \dots \text{余 }14$ 即： $110=6\times 16^1+14\times 16^0$

对应十六进制数位：

• 高位（$16^1$ 位）系数为 6，对应的十六进制符号为 6；
• 低位（$16^0$ 位）系数为 14，查表可知对应的十六进制符号为 $E$。

因此，十进制数 110 用十六进制表示为 $6E$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：十六进制基本计数原理、十进制与十六进制的互化。
2. 核心方法：十进制中转法。
3. 避坑指南：

• 运算时切勿在十进制下直接将两数进行机械拼接（如拼成 1011）。
• 注意高位和低位的排列顺序，余数 14 为低位（个位），商 6 为高位（十位），不可颠倒写为 $E6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于信息技术中计算机基础进制运算与初等数学的交叉融合，重点考查考生的信息提取与新定义迁移能力。
2. 结论推广：对于任意 $M$ 进制数，转换为十进制的标准方法为“按权展开法”，即 $\sum d_i\cdot M^i$；而十进制转换为 $M$ 进制则固定采用“除 $M$ 倒取余数法”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)