2005-全国卷III理-07 单-二倍角正弦公式与

本题导读

本题核心考查三角恒等变换与算术平方根非负性的综合运用。通过将根号下代数式配方转化为绝对值形式，将其等价转化为求解三角不等式。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 设 $0\le x\le 2\pi$，且 $\sqrt{1-\sin 2x}=\sin x-\cos x$，则()

A. $0\le x\le \pi$　　　　B. $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{7\pi }{4}$　　　　C. $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$　　　　D. $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用同角三角函数关系 $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ 和二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 将根号内代数式配方。
2. 根据算术平方根性质 $\sqrt{A^2}=|A|$ 去掉根号，将原方程转化为绝对值等式 $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$。
3. 利用绝对值性质得出 $\sin x-\cos x\ge 0$，结合已知区间 $0\le x\le 2\pi$ 求解该不等式的解集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先利用三角恒等式对根号内的代数式进行配方： $1-\sin 2x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x{)}^2$

代入原方程左边，根据算术平方根的代数定义 $\sqrt{A^2}=|A|$ 可得： $\sqrt{1-\sin 2x}=\sqrt{(\sin x-\cos x{)}^2}=|\sin x-\cos x|$

因此，原方程等价于： $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$

根据绝对值的性质 $|A|=A⟺A\ge 0$，上式成立的充要条件为： $\sin x-\cos x\ge 0⟹\sin x\ge \cos x$

在同一个周期 $[0,2\pi ]$ 内，正弦函数 $y=\sin x$ 与余弦函数 $y=\cos x$ 的图象在 $x=\frac{\pi }{4}$ 和 $x=\frac{5\pi }{4}$ 处相交。 通过分析正弦与余弦在各区间的图象上下位置关系（或利用单位圆中的三角函数线判断）：

• 当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$ 时，正弦曲线位于余弦曲线的上方，满足 $\sin x\ge \cos x$。

故满足条件的 $x$ 的取值范围是 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正弦公式的应用、“三角一”的代换技巧、算术平方根与绝对值转化、同名三角不等式的求解。
2. 核心方法：图象法、代数等价转化法。
3. 避坑指南：

• 盲目去根号：极易想当然地认为 $\sqrt{(\sin x-\cos x{)}^2}=\sin x-\cos x$ 从而不加任何约束，忽视了算术平方根结果必须为非负数（即需要带绝对值）的严密性。
• 边界值记忆混淆：在判断 $\sin x\ge \cos x$ 时，需准确识记交点坐标为 $\frac{\pi }{4}$ 和 $\frac{5\pi }{4}$，避免与 $\tan x$ 的周期或其它象限特殊角混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“同角三角函数关系”与“二倍角公式”章节的经典练习题变形。它将初中代数中“$\sqrt{A^2}=|A|$”的陷阱与高中的三角函数性质相结合，是极具代表性的双基（基础知识、基本技能）交汇试题。
2. 结论推广：对于类似的结构 $\sqrt{1\pm \sin 2x}$，其通用恒等变形公式为 $|\sin x\pm \cos x|$。在微积分计算或者解超越方程时，该公式作为一种标准的“降幂、去根号”技巧被广泛使用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 04.01 指数与对数运算
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)