2005-北京春文-07 单-内角和化简判三角形形状

本题导读

本题考查三角形内角和与两角和差的三角函数。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 在 $△ABC$ 中，已知 $2\sin A\cos B=\sin C$，那么 $△ABC$ 一定是()

A. 直角三角形　B. 等腰三角形　C. 等腰直角三角形　D. 正三角形

🔍【思路分析】

破题导航

1. $C=\pi -A-B$，故 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。
2. 代入 $2\sin A\cos B=\sin C$ 得 $\sin A\cos B=\cos A\sin B$，即 $\sin (A-B)=0$。
3. $A,B\in (0,\pi )$，$A-B\in (-\pi ,\pi )$，只能 $A=B$，等腰三角形。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由三角形内角和 $C=\pi -A-B$，得 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$． 代入已知等式，得到 $\sin A\cos B=\cos A\sin B$，即 $\sin (A-B)=0$．由于 $A,B\in (0,\pi )$，所以 $A-B\in (-\pi ,\pi )$，只能有 $A=B$． 因此三角形为等腰三角形，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：内角和化简判三角形形状

核心方法：内角和转角，和角公式因式分解

避坑指南：$\sin C=\sin (A+B)$，代入得 $\sin A\cos B=\cos A\sin B$，即 $\sin (A-B)=0$，$A=B$；别把 $C=\pi -A-B$ 的诱导方向弄错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与三角形形状判定（人教 A 版必修二）

结论推广：$\sin (A+B)=\sin C$；判形状常用”化边”或”化角”后因式分解

方法推广：内角和诱导 $\sin C=\sin (A+B)$ 是角化恒等的第一反应

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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