2005-全国卷III文-07 单-三角方程解集区间

本题导读

本题考查同角三角函数关系与三角方程的解集。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 设 $0\le x\le 2\pi$，且 $\sqrt{1-\sin 2x}=\sin x-\cos x$，则()

A. $0\le x\le \pi$　　　　　B. $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{7\pi }{4}$　　　　　C. $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$　　　　　D. $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $1-\sin 2x=1-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x{)}^2$。
2. 原式化为 $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$，即 $\sin x-\cos x\ge 0$。
3. $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ge 0$，在 $[0,2\pi ]$ 得 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $1-\sin 2x=1-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x{)}^2$，原方程化为 $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$， 这等价于 $\sin x-\cos x\ge 0$． 又 $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，在 $0\le x\le 2\pi$ 上解得 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程解集区间

核心方法：$\sqrt{1-\sin 2x}=|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x⟺\sin x-\cos x\ge 0$，即 $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ge 0$，在 $[0,2\pi ]$ 得 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$

避坑指南：$1-\sin 2x=(\sin x-\cos x{)}^2$，开方得绝对值；解 $\sin x-\cos x\ge 0$ 得 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$，别漏端点或取反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程解集区间是三角基础

结论推广：$\sqrt{1-\sin 2x}=|\sin x-\cos x|$

方法推广：开方得绝对值，再解不等式求区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期
• 2009-大纲Ⅰ文-10 单-余弦对称中心