2004-上海卷文-14 单-三角方程解集

本题导读

本题考查最简三角方程的解集。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 三角方程 $2\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$ 的解集为()

A. $\left\{x\mid x=2k\pi +\frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　　　　　　　　　　B. $\left\{x\mid x=2k\pi +\frac{5\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$

C. $\left\{x\mid x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　　　　　　　　　　　D. $\left\{x\mid x=k\pi +(-1{)}^k,k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$，方程化为 $\cos x=\frac{1}{2}$。
2. 解 $x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$（$k\in \mathbf{Z}$）。
3. 选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$，原方程化为 $2\cos x=1$，即 $\cos x=\frac{1}{2}$.因此 $x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$（$k\in \mathbf{Z}$），故解集对应选项 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角方程解集
2. 核心方法：$2\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$ 即 $2\cos x=1$，$\cos x=\frac{1}{2}$，$x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$，选 C
3. 避坑指南：先用诱导公式化 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$；$\cos x=\frac{1}{2}$ 的解是 $\pm$ 形式，勿漏负角

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于最简三角方程，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：$\cos x=a$（$|a|<1$）解集 $x=2k\pi \pm \arccos a$；先用诱导公式化同名函数，再按标准解集写通解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-07 单-三角方程解集区间
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2014-上海卷文-12 填-三角方程