2005-全国卷III文-03 单-二项展开式指定项系数

本题导读

本题考查二项展开式通项中指定项的系数。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 在 $(x-1)(x+1{)}^8$ 的展开式中 $x^5$ 的系数是()

A. $-14$　　　　　　B. $14$　　　　　　C. $-28$　　　　　　D. $28$

🔍【思路分析】

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1. 展开 $(x-1)(x+1{)}^8=x(x+1{)}^8-(x+1{)}^8$。
2. $x(x+1{)}^8$ 中 $x^5$ 系数为 $C_8^4$，$-(x+1{)}^8$ 中 $x^5$ 系数为 $-C_8^5$。
3. 合计 $C_8^4-C_8^5=70-56=14$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $(x-1)(x+1{)}^8=x(x+1{)}^8-(x+1{)}^8$， $x(x+1{)}^8$ 中 $x^5$ 的系数为 $C_8^4$，而 $-(x+1{)}^8$ 中 $x^5$ 的系数为 $-C_8^5$． 因此原展开式中 $x^5$ 的系数为 $C_8^4-C_8^5=70-56=14$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式指定项系数

核心方法：$(x-1)(x+1{)}^8=x(x+1{)}^8-(x+1{)}^8$，$x^5$ 系数 $C_8^4-C_8^5=70-56=14$

避坑指南：拆成两项分别取 $x^5$ 系数再相减；$C_8^4-C_8^5=14$，别把符号弄反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理指定项系数是必考基础

结论推广：$(x-1)(x+1{)}^8$ 拆两项分别取系数

方法推广：由指数定 $k$，再算组合数相减

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数
• 2009-大纲Ⅰ文-13 填-二项式系数
• 2010-大纲Ⅰ文-05 单-二项式系数